Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o exercício pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
-
é uma constante real (o exercício não diz nada além disso). - O limite é lateral pela direita, ou seja, estamos considerando
e aproximando de com pequeno. - Precisamos determinar o comportamento da expressão quando
se aproxima de pela direita — pode convergir para um número finito ou divergir para ou .
Passo 2
Troque a variável para trabalhar com uma quantidade pequena positiva: defina
Como estamos fazendo
, temos
(ou seja,
e tende a zero). Reescrevemos
como
Substituindo na expressão do limite temos
Passo 3
Use a fórmula do binômio de Newton para expandir
. A fórmula para
é
Aplicando com
e
obtemos
Passo 4
Subtraindo
e dividindo por
(lembrando que
enquanto não tomamos o limite) dá
Agora divida cada termo por
:
Simplificando cada fração:
Passo 5
Analise o comportamento quando
:
- O termo
é dominante porque tem . Como , . O sinal desse termo é o mesmo do sinal de , ou seja, do sinal de (e portanto do sinal de ). - Os outros termos
, e tendem a limites finitos quando ( tende a e os dois últimos tendem a ) e não conseguem neutralizar o termo , que diverge em magnitude quando .
Logo:
- Se
, então e quando . Portanto a soma tende a . - Se
, então e quando . Portanto a soma tende a . - Se
, substituindo direto em com dá
e como
temos
. Portanto o limite é
no caso
.
Passo 6
Resumo intuitivo (por que aconteceu): o numerador
tem uma raiz simples em
(ele é aproximadamente linear em
para
perto de
, com coeficiente
na primeira ordem), enquanto o denominador é quadrático em
. Dividindo algo que é ~constante·
por
dá algo que é ~constante/
, que diverge quando
; apenas quando o coeficiente linear
é zero (ou seja,
) é que a divergência some e o limite fica finito.