Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{x^{4}-a^{4}}{(x-a)^{2}}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular o limite
\lim_{x\to a^{+}} \frac{x^{4}-a^{4}}{(x-a)^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • a é uma constante real (o exercício não diz nada além disso).
  • O limite é lateral pela direita, ou seja, estamos considerando x>a e aproximando x de a com x-a>0 pequeno.
  • Precisamos determinar o comportamento da expressão quando x se aproxima de a pela direita — pode convergir para um número finito ou divergir para +\infty ou -\infty.

Passo 2

Troque a variável para trabalhar com uma quantidade pequena positiva: defina
h = x - a.
Como estamos fazendo x\to a^{+}, temos h\to 0^{+} (ou seja, h>0 e tende a zero). Reescrevemos x como
x = a + h.
Substituindo na expressão do limite temos
\frac{x^{4}-a^{4}}{(x-a)^{2}} = \frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h^{2}}.

Passo 3

Use a fórmula do binômio de Newton para expandir (a+h)^{4}. A fórmula para (u+v)^{4} é
(u+v)^{4} = u^{4} + 4u^{3}v + 6u^{2}v^{2} + 4u v^{3} + v^{4}.
Aplicando com u=a e v=h obtemos
(a+h)^{4} = a^{4} + 4a^{3}h + 6a^{2}h^{2} + 4a h^{3} + h^{4}.

Passo 4

Subtraindo a^{4} e dividindo por h^{2} (lembrando que h\neq 0 enquanto não tomamos o limite) dá
\frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h^{2}} = \frac{4a^{3}h + 6a^{2}h^{2} + 4a h^{3} + h^{4}}{h^{2}}.
Agora divida cada termo por h^{2}:
\frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h^{2}} = \frac{4a^{3}h}{h^{2}} + \frac{6a^{2}h^{2}}{h^{2}} + \frac{4a h^{3}}{h^{2}} + \frac{h^{4}}{h^{2}}.
Simplificando cada fração:
\frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h^{2}} = \frac{4a^{3}}{h} + 6a^{2} + 4a h + h^{2}.

Passo 5

Analise o comportamento quando h\to 0^{+}:
  • O termo \dfrac{4a^{3}}{h} é dominante porque tem 1/h. Como h\to 0^{+}, \dfrac{1}{h}\to +\infty. O sinal desse termo é o mesmo do sinal de 4a^{3}, ou seja, do sinal de a^{3} (e portanto do sinal de a).
  • Os outros termos 6a^{2}, 4a h e h^{2} tendem a limites finitos quando h\to0 ( 6a^{2} tende a 6a^{2} e os dois últimos tendem a 0) e não conseguem neutralizar o termo \dfrac{4a^{3}}{h}, que diverge em magnitude quando a\neq 0.
Logo:
  • Se a>0, então 4a^{3}>0 e \dfrac{4a^{3}}{h}\to +\infty quando h\to0^{+}. Portanto a soma tende a +\infty.
  • Se a<0, então 4a^{3}<0 e \dfrac{4a^{3}}{h}\to -\infty quando h\to0^{+}. Portanto a soma tende a -\infty.
  • Se a=0, substituindo direto em \dfrac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h^{2}} com a=0
\frac{h^{4}}{h^{2}} = h^{2},
e como h\to0^{+} temos h^{2}\to 0. Portanto o limite é 0 no caso a=0.

Passo 6

Resumo intuitivo (por que aconteceu): o numerador x^{4}-a^{4} tem uma raiz simples em x=a (ele é aproximadamente linear em x-a para x perto de a, com coeficiente 4a^{3} na primeira ordem), enquanto o denominador é quadrático em x-a. Dividindo algo que é ~constante· (x-a) por (x-a)^{2} dá algo que é ~constante/ (x-a), que diverge quando x\to a; apenas quando o coeficiente linear 4a^{3} é zero (ou seja, a=0) é que a divergência some e o limite fica finito.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a^{+}} \frac{x^{4}-a^{4}}{(x-a)^{2}} = +\infty \quad \text{se } a>0
\displaystyle \lim_{x\to a^{+}} \frac{x^{4}-a^{4}}{(x-a)^{2}} = 0 \quad \text{se } a=0
\displaystyle \lim_{x\to a^{+}} \frac{x^{4}-a^{4}}{(x-a)^{2}} = -\infty \quad \text{se } a<0

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