Calcule os seguintes limites (do tipo \infty / \infty ):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}-5 x-9 x^{3}}{5+9 x^{3}-9 x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a +\infty da função racional
\frac{3x^{2}-5x-9x^{3}}{5+9x^{3}-9x^{2}}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A variável tende para +\infty.
  • O numerador é 3x^{2}-5x-9x^{3}.
  • O denominador é 5+9x^{3}-9x^{2}.
  • O tipo da expressão é do tipo \infty/\infty (polinômios de mesma maior ordem), então esperamos um procedimento para avaliar esse tipo de limite.

Passo 2

Vamos identificar os termos de maior grau em numerador e denominador — isso é importante porque, para x\to+\infty, os termos de maior potência dominam o comportamento dos polinômios.
  • No numerador, o termo de maior grau é -9x^{3}.
  • No denominador, o termo de maior grau é 9x^{3}.
Quando os dois polinômios têm a mesma maior potência ( x^{3} aqui), o limite costuma ser o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Vou demonstrar isso de forma algébrica e passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Método: dividir numerador e denominador pela maior potência presente, que é x^{3}. Essa é uma técnica padrão para limites de tipo \infty/\infty com polinômios, porque transforma cada termo em algo que tende a 0 ou a uma constante quando x\to+\infty.
Executando a divisão por x^{3}:
\frac{3x^{2}-5x-9x^{3}}{5+9x^{3}-9x^{2}} = \frac{\dfrac{3x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{5x}{x^{3}}-\dfrac{9x^{3}}{x^{3}}}{\dfrac{5}{x^{3}}+\dfrac{9x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{9x^{2}}{x^{3}}}.

Passo 4

Simplificando cada fração dentro do numerador e do denominador:
  • \dfrac{3x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{3}{x}.
  • \dfrac{5x}{x^{3}}=\dfrac{5}{x^{2}}.
  • \dfrac{9x^{3}}{x^{3}}=9.
  • \dfrac{5}{x^{3}} permanece \dfrac{5}{x^{3}}.
  • \dfrac{9x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{9}{x}.
Portanto a expressão fica
\frac{\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}-9}{\dfrac{5}{x^{3}}+9-\dfrac{9}{x}}.

Passo 5

Agora avaliamos o comportamento dos termos quando x\to+\infty.
  • Para x\to+\infty tem-se \dfrac{1}{x}\to 0, \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{1}{x^{3}}\to 0.
  • Assim \dfrac{3}{x}\to 0, \dfrac{5}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{5}{x^{3}}\to 0.
  • Substituindo esses limites na expressão acima, ficamos com os termos constantes que sobraram:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}-9}{\dfrac{5}{x^{3}}+9-\dfrac{9}{x}} = \frac{0-0-9}{0+9-0}.

Passo 6

Calculando o quociente dos termos constantes obtidos:
\frac{0-0-9}{0+9-0}=\frac{-9}{9}=-1.
Esse resultado coincide com a regra prática: quando os polinômios têm o mesmo grau, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui -9 e 9).

Resposta

-1

Exercícios relacionados