Calcule os seguintes limites (do tipo
):
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas e objetivo claro:
- A variável tende para
. - O numerador é
. - O denominador é
. - O tipo da expressão é do tipo
(polinômios de mesma maior ordem), então esperamos um procedimento para avaliar esse tipo de limite.
Passo 2
Vamos identificar os termos de maior grau em numerador e denominador — isso é importante porque, para
, os termos de maior potência dominam o comportamento dos polinômios.
- No numerador, o termo de maior grau é
. - No denominador, o termo de maior grau é
.
Quando os dois polinômios têm a mesma maior potência (
aqui), o limite costuma ser o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Vou demonstrar isso de forma algébrica e passo a passo, sem pular etapas.
Passo 3
Método: dividir numerador e denominador pela maior potência presente, que é
. Essa é uma técnica padrão para limites de tipo
com polinômios, porque transforma cada termo em algo que tende a
ou a uma constante quando
.
Executando a divisão por
:
Passo 4
Simplificando cada fração dentro do numerador e do denominador:
-
. -
. -
. -
permanece . -
.
Portanto a expressão fica
Passo 5
Agora avaliamos o comportamento dos termos quando
.
- Para
tem-se , e . - Assim
, e . - Substituindo esses limites na expressão acima, ficamos com os termos constantes que sobraram:
Passo 6
Calculando o quociente dos termos constantes obtidos:
Esse resultado coincide com a regra prática: quando os polinômios têm o mesmo grau, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
e
).