Calcule os seguintes limites (do tipo \infty / \infty ):
\lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{(x-1)(3-2 x)^{-1}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty} 2^{(x-1)(3-2x)^{-1}}.
Informações dadas e o que se quer:
  • A função é x\mapsto 2^{\dfrac{x-1}{3-2x}}.
  • O que precisamos calcular é o limite quando x tende a -\infty.
  • O expoente é uma razão \dfrac{x-1}{3-2x} e, ao fazermos x\to-\infty, o numerador tende a -\infty e o denominador tende a +\infty, caracterizando uma indeterminação do tipo \infty/\infty (com sinal negativo no numerador).
    A partir daqui vamos encontrar o limite do expoente e então usar a continuidade da função exponencial para obter o limite da expressão inteira.

Passo 2

Vamos calcular o limite do expoente
E(x)=\frac{x-1}{3-2x}
quando x\to -\infty. A técnica clássica para razões de polinômios quando x\to\pm\infty é dividir numerador e denominador por x (o termo de maior grau), lembrando que x\neq0 no processo. Escrevendo:
E(x)=\frac{x-1}{3-2x}=\frac{x\bigl(1-\dfrac{1}{x}\bigr)}{x\bigl(\dfrac{3}{x}-2\bigr)} =\frac{1-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3}{x}-2}.

Passo 3

Agora que expressamos E(x) em termos de 1/x e 3/x, avaliamos o limite quando x\to -\infty. Observações:
  • \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to -\infty.
  • \dfrac{3}{x}\to 0 quando x\to -\infty.
    Logo
\lim_{x\to -\infty} E(x) = \lim_{x\to -\infty}\frac{1-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3}{x}-2} = \frac{1-0}{0-2}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Temos que o expoente converge:
\lim_{x\to -\infty} \frac{x-1}{3-2x} = -\tfrac{1}{2}.
Agora usamos um fato simples sobre funções contínuas: a função t\mapsto 2^{t} é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que, se E(x)\to L, então 2^{E(x)}\to 2^{L}. Aplicando com L=-\tfrac{1}{2}, obtemos
\lim_{x\to -\infty} 2^{\frac{x-1}{3-2x}} = 2^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Interpretando o resultado em forma mais familiar:
2^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{2}}

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