Calcule os seguintes limites (do tipo
):
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que se quer:
- A função é
. - O que precisamos calcular é o limite quando
tende a . - O expoente é uma razão
e, ao fazermos , o numerador tende a e o denominador tende a , caracterizando uma indeterminação do tipo (com sinal negativo no numerador).
A partir daqui vamos encontrar o limite do expoente e então usar a continuidade da função exponencial para obter o limite da expressão inteira.
Passo 2
Vamos calcular o limite do expoente
quando
. A técnica clássica para razões de polinômios quando
é dividir numerador e denominador por
(o termo de maior grau), lembrando que
no processo. Escrevendo:
Passo 3
Agora que expressamos
em termos de
e
, avaliamos o limite quando
. Observações:
-
quando . -
quando .
Logo
Passo 4
Temos que o expoente converge:
Agora usamos um fato simples sobre funções contínuas: a função
é contínua em todo
. Isso significa que, se
, então
. Aplicando com
, obtemos
Passo 5
Interpretando o resultado em forma mais familiar:
Portanto o limite existe e vale
.