Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e \mathbf{k} \neq \mathbf{0} ): \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot \operatorname{sen}(x)}
A função a estudar é f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x\cdot \operatorname{sen}(x)}.
Quando x\to 0 temos \cos(x)\to 1 e \operatorname{sen}(x)\to 0.
Portanto a forma do limite é do tipo “constante diferente de zero dividido por zero” (mais precisamente 1/0 no limite), o que costuma indicar que o valor pode divergir para infinito (ou menos infinito). Ainda não estamos resolvendo; apenas registrando o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Lembra do resultado clássico que vamos usar:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Vou dar uma justificativa curta e bem didática dessa igualdade (essa é uma ferramenta que aparece sempre nessas questões). Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica conhecida
\operatorname{sen}(x) < x < \tan(x).
Dividindo tudo por \operatorname{sen}(x) (positivo nesse intervalo) obtemos
Inversando e lembrando que \cos(x)>0 nesse intervalo dá
\cos(x) < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1.
Como \lim_{x\to 0}\cos(x)=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Para x tendendo a 0 por valores negativos a mesma conclusão vale por simetria (a função \operatorname{sen}(x)/x é par na vizinhança de zero). Então esse limite é 1.
Passo 3
A partir de \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 podemos afirmar coisas úteis sobre \operatorname{sen}(x) perto de 0. Em particular, por definição de limite, existe \delta_1>0 tal que, para 0<|x|<\delta_1,
Como o membro direito \dfrac{1}{3|x|^{2}} tende a +\infty quando x\to 0, segue que o módulo da nossa expressão diverge para +\infty. Ou seja, a expressão em valor absoluto fica arbitrariamente grande quando x se aproxima de 0 (por ambos os lados).
Passo 6
Para decidir o sinal da divergência: para x suficientemente próximo de 0 (menor que \delta) temos \cos(x)>0 e, pela propriedade \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to1, também \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}>0 para x próximo de zero (exceto em x=0 onde a expressão não está definida). Isso significa que, para 0<|x|<\delta, o produto x\operatorname{sen}(x) é positivo (porque \operatorname{sen}(x) e x têm o mesmo sinal perto de zero). Logo a fração \dfrac{\cos(x)}{x\operatorname{sen}(x)} é positiva quando x se aproxima de 0 (por ambos os lados). Como o módulo diverge para +\infty e os valores são positivos, a própria expressão diverge para +\infty.