Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e \mathbf{k} \neq \mathbf{0} ):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot \operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{x\cdot \operatorname{sen}(x)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função a estudar é f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x\cdot \operatorname{sen}(x)}.
  • Quando x\to 0 temos \cos(x)\to 1 e \operatorname{sen}(x)\to 0.
  • Portanto a forma do limite é do tipo “constante diferente de zero dividido por zero” (mais precisamente 1/0 no limite), o que costuma indicar que o valor pode divergir para infinito (ou menos infinito). Ainda não estamos resolvendo; apenas registrando o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Lembra do resultado clássico que vamos usar:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Vou dar uma justificativa curta e bem didática dessa igualdade (essa é uma ferramenta que aparece sempre nessas questões). Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica conhecida
\operatorname{sen}(x) < x < \tan(x).
Dividindo tudo por \operatorname{sen}(x) (positivo nesse intervalo) obtemos
1 < \frac{x}{\operatorname{sen}(x)} < \frac{1}{\cos(x)}.
Inversando e lembrando que \cos(x)>0 nesse intervalo dá
\cos(x) < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1.
Como \lim_{x\to 0}\cos(x)=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Para x tendendo a 0 por valores negativos a mesma conclusão vale por simetria (a função \operatorname{sen}(x)/x é par na vizinhança de zero). Então esse limite é 1.

Passo 3

A partir de \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 podemos afirmar coisas úteis sobre \operatorname{sen}(x) perto de 0. Em particular, por definição de limite, existe \delta_1>0 tal que, para 0<|x|<\delta_1,
\left|\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}-1\right|<\frac{1}{2}.
Isso implica
\frac{1}{2}<\left|\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right|<\frac{3}{2},
e portanto, para 0<|x|<\delta_1,
\frac{1}{2}|x|<|\operatorname{sen}(x)|<\frac{3}{2}|x|.

Passo 4

Também \cos é contínua e \cos(0)=1, então existe \delta_2>0 tal que, para |x|<\delta_2,
\cos(x)>\frac{1}{2}.
Escolha \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Para 0<|x|<\delta temos as duas desigualdades acima simultaneamente.

Passo 5

Agora usamos essas desigualdades para obter um limite de crescimento. Para 0<|x|<\delta,
\left|\frac{\cos(x)}{x\operatorname{sen}(x)}\right| =\frac{|\cos(x)|}{|x|\,|\operatorname{sen}(x)|} \ge \frac{\tfrac{1}{2}}{|x|\cdot \tfrac{3}{2}|x|} =\frac{1}{3|x|^{2}}.
Como o membro direito \dfrac{1}{3|x|^{2}} tende a +\infty quando x\to 0, segue que o módulo da nossa expressão diverge para +\infty. Ou seja, a expressão em valor absoluto fica arbitrariamente grande quando x se aproxima de 0 (por ambos os lados).

Passo 6

Para decidir o sinal da divergência: para x suficientemente próximo de 0 (menor que \delta) temos \cos(x)>0 e, pela propriedade \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to1, também \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}>0 para x próximo de zero (exceto em x=0 onde a expressão não está definida). Isso significa que, para 0<|x|<\delta, o produto x\operatorname{sen}(x) é positivo (porque \operatorname{sen}(x) e x têm o mesmo sinal perto de zero). Logo a fração \dfrac{\cos(x)}{x\operatorname{sen}(x)} é positiva quando x se aproxima de 0 (por ambos os lados). Como o módulo diverge para +\infty e os valores são positivos, a própria expressão diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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