\int_{0}^{3 / 2} \frac{d x}{\sqrt{9-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{3/2}\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}.
  • Os limites de integração são x=0 (inferior) e x=\tfrac{3}{2} (superior).
  • Note que 9-x^{2}=3^{2}-x^{2}, então a expressão sob a raiz tem a forma a^{2}-x^{2} com a=3.

Passo 2

Observação útil (motivação da técnica): integrais com a forma \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} são clássicas e simplificam com a substituição trigonométrica x=a\sin\theta. Por que isso ajuda? Porque
1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta,
e a raiz \sqrt{a^{2}-x^{2}} vira algo proporcional a \cos\theta, cancelando fatores com dx. Aqui a=3, então vamos usar x=3\sin\theta. Vou explicar cada passo devagarinho.

Passo 3

Fazer a substituição x=3\sin\theta. Calcular dx e a raiz:
dx = 3\cos\theta\,d\theta.
E
\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=3\cos\theta,
onde usei que, no intervalo que vamos obter, \cos\theta\ge0 (vamos justificar os limites em seguida).

Passo 4

Trocar os limites de integração conforme a substituição:
  • Quando x=0: 0=3\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=0\Rightarrow \theta=0.
  • Quando x=\tfrac{3}{2}: \tfrac{3}{2}=3\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=\tfrac{1}{2}\Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{6} (escolhemos o valor no intervalo [0,\pi/2] porque x varia de 0 a 3/2 positivo).
Portanto os novos limites são \theta=0 a \theta=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 5

Substituir no integrando:
\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}=\frac{3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta}=d\theta.
Assim a integral definida transforma-se em
\int_{0}^{3/2}\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}=\int_{0}^{\pi/6} d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/6} d\theta=\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/6}=\frac{\pi}{6}-0=\frac{\pi}{6}.

Passo 7

Comentário didático extra (forma alternativa rápida): sabe-se a primitiva geral
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
No caso a=3, a primitiva é \arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right). Avaliando de 0 a \tfrac{3}{2}
\arcsin\!\left(\frac{3/2}{3}\right)-\arcsin\!\left(0\right)=\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-0=\frac{\pi}{6},
o mesmo resultado obtido pela substituição trigonométrica.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}

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