Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Note que
, então a expressão sob a raiz tem a forma com .
Passo 2
Observação útil (motivação da técnica): integrais com a forma
são clássicas e simplificam com a substituição trigonométrica
. Por que isso ajuda? Porque
e a raiz
vira algo proporcional a
, cancelando fatores com
. Aqui
, então vamos usar
. Vou explicar cada passo devagarinho.
Passo 3
Fazer a substituição
. Calcular
e a raiz:
E
onde usei que, no intervalo que vamos obter,
(vamos justificar os limites em seguida).
Passo 4
Trocar os limites de integração conforme a substituição:
- Quando
: . - Quando
: (escolhemos o valor no intervalo porque varia de a positivo).
Portanto os novos limites são
a
.
Passo 5
Substituir no integrando:
Assim a integral definida transforma-se em
Passo 6
Calcular a integral em
:
Passo 7
Comentário didático extra (forma alternativa rápida): sabe-se a primitiva geral
No caso
, a primitiva é
. Avaliando de
a
dá
o mesmo resultado obtido pela substituição trigonométrica.