Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{e^{t}-1-t}{t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1-t}{t^{2}}
usando a Regra de L’Hospital, que aplica-se a limites do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} derivando numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
e^{t}-1-t \xrightarrow{t\to0} 1-1-0 = 0, \quad t^{2} \xrightarrow{t\to0} 0,
logo temos \tfrac{0}{0} e podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador uma vez:
\frac{d}{dt}(e^{t}-1-t)=e^{t}-1, \quad \frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
O limite vira
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{2t},
que ainda é da forma \tfrac{0}{0}, permitindo nova aplicação da regra.

Passo 4

Derivando de novo:
\frac{d}{dt}(e^{t}-1)=e^{t}, \quad \frac{d}{dt}(2t)=2.
Então o limite final é
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}}{2}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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