Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{5 x^{6}-x^{2}-4}{2 x^{3}-2 x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -1}\frac{5x^{6}-x^{2}-4}{2x^{3}-2x}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo é cálculo de limites em forma indeterminada \tfrac{0}{0}, onde vamos verificar a indeterminação e depois derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=-1:
\text{numerador} = 5(-1)^{6} - (-1)^{2} - 4 = 5 - 1 - 4 = 0,
\text{denominador} = 2(-1)^{3} - 2(-1) = -2 + 2 = 0.
Portanto temos 0/0, adequando-se à Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que, se \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0 e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se existir este último limite.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador:
f(x) = 5x^{6} - x^{2} - 4 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 30x^{5} - 2x,
g(x) = 2x^{3} - 2x \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = 6x^{2} - 2.

Passo 5

Aplicando em x=-1:
f'(-1) = 30(-1)^{5} - 2(-1) = -30 + 2 = -28,
g'(-1) = 6(-1)^{2} - 2 = 6 - 2 = 4.
Logo,
\lim_{x\to -1}\frac{5x^{6}-x^{2}-4}{2x^{3}-2x} = \lim_{x\to -1}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{-28}{4} = -7.

Resposta

-7

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