Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{3}-4 x^{2}}{3 x-6}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to2}\frac{2x^3-4x^2}{3x-6}
e sugere usar a Regra de L’Hospital. Como ao substituir x=2 tanto o numerador quanto o denominador dão zero, teremos uma forma indeterminada 0/0 e justificamos a aplicação da Regra de L’Hospital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
2\cdot2^3 - 4\cdot2^2 = 16 - 16 = 0,
3\cdot2 - 6 = 6 - 6 = 0.
Logo, é uma forma 0/0.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
\text{num}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^3-4x^2\bigr)=6x^2-8x,
\text{den}'(x)=\frac{d}{dx}(3x-6)=3.

Passo 4

O limite passa a ser
\lim_{x\to2}\frac{6x^2-8x}{3}
e, substituindo x=2,
\frac{6\cdot2^2 - 8\cdot2}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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