Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)-x^{2}-3 x-1}{2 x-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - x^{2} - 3x - 1}{2x - \sin x}
usando a Regra de L’Hospital. Vamos precisar reconhecer que é uma forma indeterminada 0/0 e então derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo x=0:
\cos(0)-0^{2}-3\cdot0-1 = 1-0-0-1 = 0, \quad 2\cdot0-\sin(0) = 0-0 = 0.
Logo, temos 0/0 e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente. Para o numerador N(x)=\cos(x)-x^{2}-3x-1:
N'(x) = -\sin(x) - 2x - 3.
Para o denominador D(x)=2x-\sin(x):
D'(x) = 2 - \cos(x).

Passo 4

Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x \to 0} \frac{N(x)}{D(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{N'(x)}{D'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x) - 2x - 3}{2 - \cos(x)}.
Substituindo x=0:
-\sin(0) - 2\cdot0 - 3 = -3, \quad 2 - \cos(0) = 2-1 = 1.
Logo o limite é -3/1 = -3.

Resposta

-3

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