Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{arctg}(x)-\pi / 2}{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{\arctan(x)-\frac{\pi}{2}}{\ln x}
usando a regra de L\’Hospital. Note que aqui o conteúdo principal é análise de limites e comportamento assintótico de funções elementares.

Passo 2

Verifiquemos primeiro o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
– Numerador:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\arctan(x)-\tfrac\pi2\bigr) =\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)-\tfrac\pi2 =\tfrac\pi2-\tfrac\pi2=0.
– Denominador:
\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.
Portanto a forma do quociente é
\frac{0}{+\infty},
que não é indeterminação; é um caso em que o numerador tende a zero mais rápido que o denominador tende a infinito.

Passo 3

Como \ln x\to+\infty cresce sem limite e \arctan(x)-\tfrac\pi2\to0, o quociente tende a zero. Em outras palavras,
\frac{\arctan(x)-\frac\pi2}{\ln x}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

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