Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão
x-\sqrt{x^{2}+3x}.
Ou seja, encontrar o valor numérico
\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+3x}\right).
Informações dadas: a função é explícita e envolve uma diferença entre x e uma raiz quadrada que cresce com x. Não usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Observação qualitativa antes de mexer em contas: para x muito grande, tanto x quanto \sqrt{x^{2}+3x} crescem da ordem de x. Então a expressão é uma diferença entre duas quantidades grandes e parecidas — isso indica que pode haver um cancelamento levando a um valor finito. Para calcular com segurança, vamos usar uma manipulação algébrica que evita formas indeterminadas.

Passo 3

Truque do conjugado (explicação didática): se temos uma diferença a-b e queremos simplificar, multiplicar por \dfrac{a+b}{a+b} usa a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
o que frequentemente elimina a raiz. Aqui, escolha a=x e b=\sqrt{x^{2}+3x}. Multiplicamos a expressão por \dfrac{x+\sqrt{x^{2}+3x}}{x+\sqrt{x^{2}+3x}} (isso é multiplicar por 1, portanto não altera o valor), para racionalizar.

Passo 4

Aplicando o conjugado e usando a identidade a^{2}-b^{2}, obtemos:
x-\sqrt{x^{2}+3x} = \frac{\bigl(x-\sqrt{x^{2}+3x}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+3x}\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+3x}} = \frac{x^{2}-\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+3x}}.
Agora simplificamos o numerador:
x^{2}-\bigl(x^{2}+3x\bigr)=-3x,
portanto
x-\sqrt{x^{2}+3x}=\frac{-3x}{\,x+\sqrt{x^{2}+3x}\,}.

Passo 5

Para estudar o limite quando x\to\infty, é conveniente dividir numerador e denominador por x. Como estamos indo para +\infty, x>0 para x suficientemente grande, então dividir por x é legítimo e preserva o limite. Fazendo isso:
\frac{-3x}{x+\sqrt{x^{2}+3x}} = \frac{-3}{1+\dfrac{\sqrt{x^{2}+3x}}{x}}.
Agora simplificamos a razão dentro da raiz:
\frac{\sqrt{x^{2}+3x}}{x}=\sqrt{1+\frac{3}{x}},
pois \sqrt{x^{2}+3x} = x\sqrt{1+\dfrac{3}{x}} para x>0. Assim a expressão fica
x-\sqrt{x^{2}+3x}=\frac{-3}{1+\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}}.

Passo 6

Agora tomamos o limite x\to\infty. A continuidade da raiz quadrada implica
\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x}}=\sqrt{1+0}=1.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+3x}\right) =\lim_{x\to\infty}\frac{-3}{1+\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}} =\frac{-3}{1+1}=\frac{-3}{2}.

Passo 7

Verificação rápida por aproximação (intuição): para x grande, \sqrt{x^{2}+3x}\approx x+\dfrac{3}{2} (expansão em séries ou fatoração), então x-\sqrt{x^{2}+3x}\approx -\dfrac{3}{2}, consistente com o resultado rigoroso acima. Boa notícia: o limite existe e é finito.

Resposta

-\dfrac{3}{2}

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