Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Ou seja, encontrar o valor numérico
Informações dadas: a função é explícita e envolve uma diferença entre
e uma raiz quadrada que cresce com
. Não usar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Observação qualitativa antes de mexer em contas: para
muito grande, tanto
quanto
crescem da ordem de
. Então a expressão é uma diferença entre duas quantidades grandes e parecidas — isso indica que pode haver um cancelamento levando a um valor finito. Para calcular com segurança, vamos usar uma manipulação algébrica que evita formas indeterminadas.
Passo 3
Truque do conjugado (explicação didática): se temos uma diferença
e queremos simplificar, multiplicar por
usa a identidade
o que frequentemente elimina a raiz. Aqui, escolha
e
. Multiplicamos a expressão por
(isso é multiplicar por
, portanto não altera o valor), para racionalizar.
Passo 4
Aplicando o conjugado e usando a identidade
, obtemos:
Agora simplificamos o numerador:
portanto
Passo 5
Para estudar o limite quando
, é conveniente dividir numerador e denominador por
. Como estamos indo para
,
para
suficientemente grande, então dividir por
é legítimo e preserva o limite. Fazendo isso:
Agora simplificamos a razão dentro da raiz:
pois
para
. Assim a expressão fica
Passo 6
Agora tomamos o limite
. A continuidade da raiz quadrada implica
Portanto
Passo 7
Verificação rápida por aproximação (intuição): para
grande,
(expansão em séries ou fatoração), então
, consistente com o resultado rigoroso acima. Boa notícia: o limite existe e é finito.