Esboce o gráfico das funções definidas abaixo. y=\left|x^{2}-1\right|
Passo 1
O enunciado pede que se esboce o gráfico da função
y=\left|x^{2}-1\right|.
Informações dadas:
A função é a valor absoluto da expressão x^{2}-1.
O que se quer: o esboço (forma) do gráfico no plano cartesiano — isto é, onde estão os pontos importantes, que curvas aparecem e como ligá-las.
Passo 2
Entender o valor absoluto. Para qualquer expressão u\) vale a definição
\[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui tomamos (u=x^{2}-1]. Aplicando a definição obtemos a forma por partes da função: y=\left|x^{2}-1\right|=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x^{2}-1\ge 0,\\[4pt] -(x^{2}-1)=1-x^{2}, & \text{se } x^{2}-1<0. \end{cases}]
Passo 3
Converter as condições em intervalos de x. Resolver x^{2}-1\ge 0 e x^{2}-1<0:
Interpretar cada ramo (aulas rápidas sobre parábolas).
A função y=x^{2}-1 é uma parábola com concavidade para cima, vértice em (0,-1) e eixo de simetria x=0.
A função y=1-x^{2} é uma parábola com concavidade para baixo, vértice em (0,1) e eixo de simetria x=0.
Aqui, só usamos cada uma dessas parábolas no intervalo indicado pelo valor absoluto.
Passo 5
Calcular pontos-chave (isso ajuda bastante no esboço).
Zeros (onde y=0):
\left|x^{2}-1\right|=0\iff x^{2}-1=0\iff x=\pm 1.
Portanto os pontos (1,0) e (-1,0) estão no gráfico.
Intercepto em y (quando x=0):
y=\left|0^{2}-1\right|=\left|-1\right|=1,
logo o ponto (0,1) está no gráfico.
Alguns outros pontos úteis: x=\pm 2\Rightarrow y=|4-1|=3, então (2,3) e (-2,3).
Monte uma pequena tabela mental:
\begin{array}{c|c} x & y \\\ \hline 0 & 1 \\\ \pm 1 & 0 \\\ \pm 2 & 3 \end{array}
Passo 6
Como montar o desenho passo a passo (método prático para a prova).
Trace os eixos e marque os pontos (-2,3),(-1,0),(0,1),(1,0),(2,3).
No intervalo |x|<1 (entre -1 e 1), desenhe a parábola voltada para baixo y=1-x^{2}. Ela tem vértice em (0,1) e atravessa (\pm 1,0).
Para |x|\ge 1 (fora desse intervalo), desenhe as duas “ramas” da parábola voltada para cima y=x^{2}-1. Essas ramificações partem de (\pm 1,0) e crescem para cima quando |x| aumenta.
Uma imagem mental útil: comece desenhando y=x^{2}-1. Onde essa parábola fica abaixo do eixo x (entre -1 e 1) faça a reflexão dessa parte para cima — isso gera y=1-x^{2}. Essa é a operação do valor absoluto: “refletir” as partes negativas para positivas.
Passo 7
Propriedades finais que aparecem no gráfico (úteis para justificar em prova):
Simetria: y é função par, pois y(x)=\left|x^{2}-1\right|=y(-x). Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Continuidade: a função é contínua em todo \mathbb{R} (os ramos se encontram em (\pm 1,0) sem salto).
Diferenciabilidade: não é diferenciável em x=\pm 1 — há “pontas” (cantos). Verificação rápida dos declives:
Para x>1, y'=2x e em x=1^+ vale 2.
Para -1<x<1, y'=(1-x^{2})'=-2x e em x=1^{-} vale -2.
Esses valores diferentes mostraram que a derivada salta em x=1. Igual para x=-1.
Comportamento para x\to\pm\infty: \;y\sim x^{2}\to +\infty; as “braças” crescem como uma parábola normal.
Passo 8
Resumo do esboço (orientação final para desenhar rapidamente na prova):
Entre -1 e 1: desenho de y=1-x^{2} (parábola voltada para baixo, vértice (0,1)).
Para x\le -1 e x\ge 1: desenho de y=x^{2}-1 (parábola voltada para cima, passando por (\pm1,0)).
Marcar simetria, pontos (0,1), (\pm1,0), (\pm2,3) e ligar as curvas suavemente; indicar as pontas (não diferenciáveis) em (\pm1,0).
Gráfico: parábola voltada para baixo y=1-x^{2} no intervalo (-1,1) com vértice em (0,1); para x\le -1 e x\ge 1 as duas ramificações da parábola voltada para cima y=x^{2}-1, unindo-se em (\pm1,0). Simétrico em relação ao eixo y.]