Esboce o gráfico das funções definidas abaixo.
y=\left|x^{2}-1\right|

Passo 1

O enunciado pede que se esboce o gráfico da função
y=\left|x^{2}-1\right|.
Informações dadas:
  • A função é a valor absoluto da expressão x^{2}-1.
  • O que se quer: o esboço (forma) do gráfico no plano cartesiano — isto é, onde estão os pontos importantes, que curvas aparecem e como ligá-las.

Passo 2

Entender o valor absoluto. Para qualquer expressão u\) vale a definição \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui tomamos (u=x^{2}-1]. Aplicando a definição obtemos a forma por partes da função:
y=\left|x^{2}-1\right|=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x^{2}-1\ge 0,\\[4pt] -(x^{2}-1)=1-x^{2}, & \text{se } x^{2}-1<0. \end{cases}]

Passo 3

Converter as condições em intervalos de x. Resolver x^{2}-1\ge 0 e x^{2}-1<0:
x^{2}-1\ge 0 \iff x^{2}\ge 1 \iff |x|\ge 1,
x^{2}-1<0 \iff |x|<1.
Portanto a função pode ser reescrita como
y=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } |x|\ge 1,\\[4pt] 1-x^{2}, & \text{se } |x|<1. \end{cases}]

Passo 4

Interpretar cada ramo (aulas rápidas sobre parábolas).
  • A função y=x^{2}-1 é uma parábola com concavidade para cima, vértice em (0,-1) e eixo de simetria x=0.
  • A função y=1-x^{2} é uma parábola com concavidade para baixo, vértice em (0,1) e eixo de simetria x=0.
    Aqui, só usamos cada uma dessas parábolas no intervalo indicado pelo valor absoluto.

Passo 5

Calcular pontos-chave (isso ajuda bastante no esboço).
  • Zeros (onde y=0):
\left|x^{2}-1\right|=0\iff x^{2}-1=0\iff x=\pm 1.
Portanto os pontos (1,0) e (-1,0) estão no gráfico.
  • Intercepto em y (quando x=0):
y=\left|0^{2}-1\right|=\left|-1\right|=1,
logo o ponto (0,1) está no gráfico.
  • Alguns outros pontos úteis: x=\pm 2\Rightarrow y=|4-1|=3, então (2,3) e (-2,3).
    Monte uma pequena tabela mental:
\begin{array}{c|c} x & y \\\ \hline 0 & 1 \\\ \pm 1 & 0 \\\ \pm 2 & 3 \end{array}

Passo 6

Como montar o desenho passo a passo (método prático para a prova).
  1. Trace os eixos e marque os pontos (-2,3),(-1,0),(0,1),(1,0),(2,3).
  2. No intervalo |x|<1 (entre -1 e 1), desenhe a parábola voltada para baixo y=1-x^{2}. Ela tem vértice em (0,1) e atravessa (\pm 1,0).
  3. Para |x|\ge 1 (fora desse intervalo), desenhe as duas “ramas” da parábola voltada para cima y=x^{2}-1. Essas ramificações partem de (\pm 1,0) e crescem para cima quando |x| aumenta.
    Uma imagem mental útil: comece desenhando y=x^{2}-1. Onde essa parábola fica abaixo do eixo x (entre -1 e 1) faça a reflexão dessa parte para cima — isso gera y=1-x^{2}. Essa é a operação do valor absoluto: “refletir” as partes negativas para positivas.

Passo 7

Propriedades finais que aparecem no gráfico (úteis para justificar em prova):
  • Simetria: y é função par, pois y(x)=\left|x^{2}-1\right|=y(-x). Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Continuidade: a função é contínua em todo \mathbb{R} (os ramos se encontram em (\pm 1,0) sem salto).
  • Diferenciabilidade: não é diferenciável em x=\pm 1 — há “pontas” (cantos). Verificação rápida dos declives:
    • Para x>1, y'=2x e em x=1^+ vale 2.
    • Para -1<x<1, y'=(1-x^{2})'=-2x e em x=1^{-} vale -2.
      Esses valores diferentes mostraram que a derivada salta em x=1. Igual para x=-1.
  • Comportamento para x\to\pm\infty: \;y\sim x^{2}\to +\infty; as “braças” crescem como uma parábola normal.

Passo 8

Resumo do esboço (orientação final para desenhar rapidamente na prova):
  • Entre -1 e 1: desenho de y=1-x^{2} (parábola voltada para baixo, vértice (0,1)).
  • Para x\le -1 e x\ge 1: desenho de y=x^{2}-1 (parábola voltada para cima, passando por (\pm1,0)).
  • Marcar simetria, pontos (0,1), (\pm1,0), (\pm2,3) e ligar as curvas suavemente; indicar as pontas (não diferenciáveis) em (\pm1,0).

Resposta

y=\left|x^{2}-1\right|=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } |x|\ge 1,\\[4pt] 1-x^{2}, & \text{se } |x|<1, \end{cases}
Gráfico: parábola voltada para baixo y=1-x^{2} no intervalo (-1,1) com vértice em (0,1); para x\le -1 e x\ge 1 as duas ramificações da parábola voltada para cima y=x^{2}-1, unindo-se em (\pm1,0). Simétrico em relação ao eixo y.]

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