Calcule os seguintes números complexos:
Resolva as expressões:
Resolva as expressões:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o valor da expressão
Informações dadas (listas para clareza):
Até aqui é só organizar os dados. No próximo passo eu mostro como transformar e operar com esses números complexos.
Passo 2
Conceito e estratégia (explicação didática, passo-a-passo e intuitiva):
- Um número complexo pode ser escrito em forma retangular
ou em forma polar , onde é o módulo (distância ao zero) e é o argumento (ângulo). As fórmulas de conversão:
- Para somar dois complexos é mais simples em forma retangular: soma-se parte real com real e parte imaginária com imaginária.
- Para multiplicar/dividir complexos é muito simples em forma polar: multiplica-se os módulos e soma-se os ângulos (ou divide-se módulos e subtrai-se ângulos). Por isso a estratégia:
- Converter
e para retangular, somá-los. - Converter esse somatório para forma polar (ou manter retangular e multiplicar pelo outro fator convertido para polar). Aqui eu vou achar o somatório em retangular e depois passar para polar para multiplicar por
(que é fácil de converter para polar). - Calcular o denominador em polar (módulo e ângulo) usando
e somando o ângulo com . - Dividir em polar para obter o resultado final; se quiser, converto para retangular.
- Converter
Agora aplico isso com números e mostro as contas.
Passo 3
Converter os termos em retangular (para poder somar):
- Converter
: Calculando com as funções trigonométricas:
Logo
- Converter
:
Logo
Passo 4
Somar os dois vetores retangulares (parte a parte):
Portanto o somatório é
Passo 5
Converter
para forma polar (precisamos do módulo e do ângulo para multiplicar facilmente):
- Módulo:
(Aqui calculei as potências e a raiz quadrada; mantenho 3 casas decimais para clareza.) - Argumento:
Assim
Passo 6
Converter o fator
para forma polar (é simples):
- Módulo:
- Ângulo:
Logo
Passo 7
Multiplicar
pelo fator
em forma polar (módulos multiplicam, ângulos somam):
Portanto o numerador total em polar é aproximadamente
Passo 8
Agora o denominador: primeiro calcule
e seu ângulo, depois multiplique por
.
- Módulo de
: - Ângulo de
:
Multiplicando por
:
Logo o denominador é aproximadamente
Passo 9
Dividir numerador por denominador em forma polar (módulos dividem, ângulos subtraem):
Portanto o resultado em forma polar é
Passo 10
Converter para forma retangular (útil para verificar ou usar em cálculos):
- Fórmulas:
Usando
e
:
Assim a forma retangular é aproximadamente