Calcule os seguintes números complexos:
Resolva as expressões:
\frac{\left(240 \angle 75^{\circ}+160 \angle-30^{\circ}\right)(60-j 80)}{(67+j 84)\left(20 \angle 32^{\circ}\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor da expressão
\frac{\left(240 \angle 75^{\circ}+160 \angle-30^{\circ}\right)(60-j80)}{(67+j84)\left(20 \angle 32^{\circ}\right)}.
Informações dadas (listas para clareza):
\begin{aligned} &\text{Primeiro somando: }240\angle75^\circ\quad\text{e}\quad160\angle(-30^\circ).\\\ &\text{Multiplicador no numerador: }60-j80.\\\ &\text{Denominador: }(67+j84)\text{ multiplicado por }20\angle32^\circ. \end{aligned}
Até aqui é só organizar os dados. No próximo passo eu mostro como transformar e operar com esses números complexos.

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática, passo-a-passo e intuitiva):
  • Um número complexo pode ser escrito em forma retangular x+jy ou em forma polar R\angle\theta, onde R é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo). As fórmulas de conversão: x = R\cos\theta,\qquad y = R\sin\theta,
R=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
  • Para somar dois complexos é mais simples em forma retangular: soma-se parte real com real e parte imaginária com imaginária.
  • Para multiplicar/dividir complexos é muito simples em forma polar: multiplica-se os módulos e soma-se os ângulos (ou divide-se módulos e subtrai-se ângulos). Por isso a estratégia:
    1. Converter 240\angle75^\circ e 160\angle-30^\circ para retangular, somá-los.
    2. Converter esse somatório para forma polar (ou manter retangular e multiplicar pelo outro fator convertido para polar). Aqui eu vou achar o somatório em retangular e depois passar para polar para multiplicar por 60-j80 (que é fácil de converter para polar).
    3. Calcular o denominador em polar (módulo e ângulo) usando |67+j84| e somando o ângulo com 32^\circ.
    4. Dividir em polar para obter o resultado final; se quiser, converto para retangular.
Agora aplico isso com números e mostro as contas.

Passo 3

Converter os termos em retangular (para poder somar):
  • Converter 240\angle75^\circ: \begin{aligned} \text{real}&=240\cos75^\circ,\\\ \text{imag}&=240\sin75^\circ. \end{aligned}Calculando com as funções trigonométricas: 240\cos75^\circ \approx 240\cdot 0{,}2588190451 \approx 62{,}1165708,
240\sin75^\circ \approx 240\cdot 0{,}9659258263 \approx 231{,}8221983.
Logo
240\angle75^\circ \approx 62{,}1165708 + j\,231{,}8221983.
  • Converter 160\angle-30^\circ: 160\cos(-30^\circ)=160\cdot 0{,}8660254038 \approx 138{,}5640646,
160\sin(-30^\circ)=160\cdot(-0{,}5)=-80.
Logo
160\angle-30^\circ \approx 138{,}5640646 - j\,80.

Passo 4

Somar os dois vetores retangulares (parte a parte):
\begin{aligned} \text{parte real total }&=62{,}1165708 + 138{,}5640646 \approx 200{,}6806354,\\\ \text{parte imag total }&=231{,}8221983 - 80 \approx 151{,}8221983. \end{aligned}
Portanto o somatório é
S \approx 200{,}6806354 + j\,151{,}8221983.

Passo 5

Converter S para forma polar (precisamos do módulo e do ângulo para multiplicar facilmente):
  • Módulo: |S|=\sqrt{(200{,}6806354)^2+(151{,}8221983)^2}\approx 251{,}639.(Aqui calculei as potências e a raiz quadrada; mantenho 3 casas decimais para clareza.)
  • Argumento: \arg(S)=\arctan\!\left(\frac{151{,}8221983}{200{,}6806354}\right)\approx 37{,}05^\circ.
Assim
S \approx 251{,}639\angle 37{,}05^\circ.

Passo 6

Converter o fator 60-j80 para forma polar (é simples):
  • Módulo: \sqrt{60^2+(-80)^2}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100.
  • Ângulo: \arctan\!\left(\frac{-80}{60}\right)=\arctan\!\left(-\tfrac{4}{3}\right)\approx -53{,}1301024^\circ.
Logo
60-j80 = 100\angle -53{,}1301^\circ.

Passo 7

Multiplicar S pelo fator 60-j80 em forma polar (módulos multiplicam, ângulos somam):
\begin{aligned} \text{módulo do numerador} &= 251{,}639\cdot 100 = 25\,163{,}9,\\\ \text{ângulo do numerador} &= 37{,}05^\circ +(-53{,}1301^\circ)= -16{,}0801^\circ. \end{aligned}óâ
Portanto o numerador total em polar é aproximadamente
N \approx 25\,163{,}9\angle -16{,}0801^\circ.

Passo 8

Agora o denominador: primeiro calcule |67+j84| e seu ângulo, depois multiplique por 20\angle32^\circ.
  • Módulo de 67+j84: |67+j84|=\sqrt{67^2+84^2}=\sqrt{4\,489+7\,056}=\sqrt{11\,545}\approx 107{,}4477.
  • Ângulo de 67+j84: \arg(67+j84)=\arctan\!\left(\frac{84}{67}\right)\approx 51{,}3402^\circ.
Multiplicando por 20\angle32^\circ:
\begin{aligned} \text{módulo do denominador} &=107{,}4477\cdot 20 \approx 2\,148{,}9534,\\\ \text{ângulo do denominador} &=51{,}3402^\circ + 32^\circ =83{,}3402^\circ. \end{aligned}óâ
Logo o denominador é aproximadamente
D \approx 2\,148{,}9534\angle 83{,}3402^\circ.

Passo 9

Dividir numerador por denominador em forma polar (módulos dividem, ângulos subtraem):
\begin{aligned} \text{módulo do quociente} &=\frac{25\,163{,}9}{2\,148{,}9534}\approx 11{,}7069,\\\ \text{ângulo do quociente} &=-16{,}0801^\circ - 83{,}3402^\circ \approx -99{,}4203^\circ. \end{aligned}óâ
Portanto o resultado em forma polar é
Z \approx 11{,}7069\angle -99{,}4203^\circ.

Passo 10

Converter para forma retangular (útil para verificar ou usar em cálculos):
  • Fórmulas: \Re(Z)=R\cos\theta,\qquad \Im(Z)=R\sin\theta.
Usando R\approx 11{,}7069 e \theta\approx -99{,}4203^\circ:
\begin{aligned} \Re(Z) &\approx 11{,}7069\cos(-99{,}4203^\circ)\approx -1{,}92\\ (\text{aprox.}),\\\ \Im(Z) &\approx 11{,}7069\sin(-99{,}4203^\circ)\approx -11{,}56\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Assim a forma retangular é aproximadamente
Z \approx -1{,}92 - j\,11{,}56.

Resposta

-1{,}92 - j\,11{,}56
11{,}707\angle -99{,}42^\circ

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