Seja \mathbf{X}=4 \angle 40^{\circ} e \mathbf{Y}=20 \angle-30^{\circ}. Calcule as quantidades a seguir e expresse seus resultados na forma polar:
(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) / \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado dá as duas quantidades complexas em forma polar: \mathbf{X}=4\angle 40^\circ e \mathbf{Y}=20\angle -30^\circ. Pede-se calcular a expressão
\frac{\mathbf{X}+\mathbf{Y}}{\mathbf{X}}
e expressar o resultado na forma polar. Informações relevantes: as magnitudes e os ângulos das duas grandezas polares estão explicitamente fornecidos.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a notação polar e algumas regras úteis (passo-a-passo, sem pressa). A notação \,r\angle\theta, representa o número complexo com magnitude r e argumento \theta. Em termos cartesianos (retangular) isso é
r\angle\theta = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big),
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Importante: não podemos somar diretamente dois números em forma polar sem convertê‑los para retangular (ou usar uma estratégia algébrica). Já a divisão em forma polar é muito simples: se temos \,r_1\angle\theta_1 e \,r_2\angle\theta_2, então
\frac{r_1\angle\theta_1}{r_2\angle\theta_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2).

Passo 3

Uma simplificação algébrica que facilita a conta é escrever
\frac{\mathbf{X}+\mathbf{Y}}{\mathbf{X}} = 1 + \frac{\mathbf{Y}}{\mathbf{X}}.
Isso evita ter que converter \mathbf{X} e \mathbf{Y} para retangular só para dividir — podemos primeiro calcular \mathbf{Y}/\mathbf{X} em polar usando a regra de divisão e depois somar 1 (que é 1\angle 0^\circ).

Passo 4

Calculemos \mathbf{Y}/\mathbf{X} em forma polar aplicando a regra de divisão:
\frac{\mathbf{Y}}{\mathbf{X}}=\frac{20\angle -30^\circ}{4\angle 40^\circ}=\frac{20}{4}\angle(-30^\circ-40^\circ)=5\angle -70^\circ.
Então a expressão vira
\frac{\mathbf{X}+\mathbf{Y}}{\mathbf{X}} = 1 + 5\angle -70^\circ.

Passo 5

Agora precisamos somar 1 (que é 1\angle 0^\circ) com 5\angle -70^\circ. Para somar, convertemos 5\angle -70^\circ para retangular:
5\angle -70^\circ = 5\big(\cos(-70^\circ)+j\sin(-70^\circ)\big).
Como \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta, temos
5\angle -70^\circ = 5\big(\cos 70^\circ - j\sin 70^\circ\big).
Usarei valores trigonométricos aproximados (sem calculadora exata, mas com precisão suficiente para a prova):
\cos 70^\circ \approx 0,342020\quad\text{e}\quad \sin 70^\circ \approx 0,939693.
Multiplicando por 5:
5\cos 70^\circ \approx 1,710100,\qquad 5\sin 70^\circ \approx 4,698465.
Portanto
5\angle -70^\circ \approx 1,710100 - j\,4,698465.

Passo 6

Some agora com 1 (ou seja, 1 + j0):
1 + 5\angle -70^\circ \approx (1 + 1,710100) + j(0 - 4,698465).
Assim o resultado em retangular é
1 + 5\angle -70^\circ \approx 2,710100 + j(-4,698465).

Passo 7

Convertemos esse número retangular para polar. A magnitude é
\text{módulo} = \sqrt{(2,710100)^2 + (-4,698465)^2}.ó
Calculando:
(2,710100)^2 \approx 7,344648,\qquad (-4,698465)^2 \approx 22,077276,
soma \approx 29,421924 e
\sqrt{29,421924}\approx 5,424200.
O argumento (ângulo) é dado por \theta=\operatorname{atan2}(\Im,\Re). Aqui
\theta \approx \arctan\!\bigg(\frac{-4,698465}{2,710100}\bigg).
A razão é aproximadamente 1,733993, cujo arco-tangente em graus é aproximadamente 60,06^\circ. Como a parte imaginária é negativa e a real positiva, o ângulo está no quarto quadrante, portanto
\theta \approx -60,06^\circ.

Passo 8

Arredondando a magnitude e o ângulo para uma precisão razoável para prova, obtemos o resultado final na forma polar:
\frac{\mathbf{X}+\mathbf{Y}}{\mathbf{X}} \approx 5,4242\angle -60,06^\circ.

Resposta

5,4242\angle -60,06^\circ

Exercícios relacionados