Seja \mathbf{X}=4 \angle 40^{\circ} e \mathbf{Y}=20 \angle-30^{\circ}. Calcule as quantidades a seguir e expresse seus resultados na forma polar:
(\mathbf{X}-\mathbf{Y})^{*}

Passo 1

O enunciado dá duas quantidades complexas em forma polar e pede o conjugado do seu diferença. Dados:
\mathbf{X}=4\angle 40^\circ
\mathbf{Y}=20\angle -30^\circ
O que se quer calcular é:
(\mathbf{X}-\mathbf{Y})^{*}

Passo 2

Primeira observação útil (muito prática na prova): a conjugação é linear e distribui sobre a diferença. Ou seja,
(\mathbf{X}-\mathbf{Y})^{*}=\mathbf{X}^{*}-\mathbf{Y}^{*}.
Isso significa que, em vez de calcular primeiro \mathbf{X}-\mathbf{Y} e depois conjugar, podemos conjugar cada termo separadamente e depois subtrair — às vezes isso simplifica bastante os cálculos.

Passo 3

Conjugar um número em forma polar troca o sinal do ângulo. Então:
\mathbf{X}^{*}=4\angle(-40^\circ)
\mathbf{Y}^{*}=20\angle 30^\circ
Expliquei porquê: se \mathbf{Z}=r\angle\theta, então \mathbf{Z}=r(\cos\theta + j\sin\theta) e \mathbf{Z}^{*}=r(\cos\theta - j\sin\theta)=r\angle(-\theta).

Passo 4

Para subtrair, convertemos \mathbf{X}^{*} e \mathbf{Y}^{*} para forma retangular a + j b. Usamos
r\angle\theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
Cálculos (usei aproximações trigonométricas com 6 dígitos úteis):
\cos 40^\circ \approx 0,766044,\qquad \sin 40^\circ \approx 0,642788,
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025,\qquad \sin 30^\circ = 0,5.
Então:
\mathbf{X}^{*}=4\angle(-40^\circ)=4(\cos 40^\circ - j\sin 40^\circ)
\mathbf{X}^{*}=4(0,766044 - j\,0,642788)=3,064176 - j\,2,571152.
\mathbf{Y}^{*}=20\angle 30^\circ=20(0,866025 + j\,0,5)=17,320508 + j\,10,0.

Passo 5

Agora subtraímos em retangular:
\mathbf{X}^{*}-\mathbf{Y}^{*}=(3,064176 - j\,2,571152)-(17,320508 + j\,10,0).
Somando termos reais e imaginários:
\mathbf{X}^{*}-\mathbf{Y}^{*}=(3,064176-17,320508)+j(-2,571152-10,0).
\mathbf{X}^{*}-\mathbf{Y}^{*}=-14,256332 - j\,12,571152.

Passo 6

Agora convertendo para polar: primeiro a magnitude
r=\sqrt{(\Re)^2+(\Im)^2}=\sqrt{(-14,256332)^2+(-12,571152)^2}.
Calculando os quadrados (mostro como fiz para não deixar dúvida):
(-14,256332)^2=203,243002094224,
(-12,571152)^2=158,033837464801.
Somando:
r=\sqrt{203,243002094224+158,033837464801}=\sqrt{361,276839559025}.
Usando aproximação por expansão (ou uma calculadora), obtemos
r\approx 19,0073.

Passo 7

Agora o argumento (ângulo). Tomamos
\theta=\operatorname{atan2}(\Im,\Re)=\operatorname{atan2}(-12,571152,\,-14,256332).
Ambos real e imaginário são negativos, portanto o vetor está no terceiro quadrante (ângulo entre -180^\circ e -90^\circ). Calculamos a razão dos módulos:
\left|\frac{\Im}{\Re}\right|=\frac{12,571152}{14,256332}\approx 0,881794.
O arco cuja tangente é esse valor é aproximadamente
\alpha=\arctan(0,881794)\approx 41,4086^\circ.
Como estamos no terceiro quadrante, o ângulo principal será
\theta=-180^\circ+\alpha\approx -180^\circ+41,4086^\circ=-138,5914^\circ.
Arredondando com consistência com os dígitos da magnitude:
\theta\approx -138,59^\circ.

Passo 8

Portanto a forma polar final é
(\mathbf{X}-\mathbf{Y})^{*}\approx 19,0073\angle -138,59^\circ.

Resposta

19,0073\angle -138,59^\circ

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