Calcule a série de Fourier Complexa da onda quadrada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série de Fourier complexa da função periódica de período
Informações relevantes dadas:
A tarefa é encontrar os coeficientes complexos (c_n] tais que
]
Passo 2
Fórmula que vamos usar: para uma função periódica de período
os coeficientes da série de Fourier complexa são dados por
para todo inteiro
. Explicando a fórmula de forma simples:
é o “peso” do modo harmônico
na função
; multiplicamos
por
(a conjugada complexa do modo) e integramos sobre um período, normalizando por
. Nesta fórmula,
é um inteiro (positivo, zero ou negativo) e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Calculemos
para
. Como
é definido por partes, separamos a integral:
Agora computamos as integrais (assumindo
):
a primária:
a primária:
a segunda:
Lembre que nesta segunda integral aparecerá o fator
de
no intervalo
.
Passo 4
Substituindo as duas integrais em
(lembrando o
na segunda parte):
Colocando em evidência o denominador comum
:
Usamos que
e
. Assim o numerador vira
. Portanto
Passo 5
Interpretação do resultado para
:
- Se
é par, então e , logo para todo par. - Se
é ímpar, então e , logo para ímpar
Portanto apenas os modos com
ímpar têm coeficiente não-nulo.
Passo 6
Cálculo especial de
(média da função):
Isso confirma que a média da função em um período é zero.
Passo 7
Escrevendo a série de Fourier complexa completa, lembrando que só aparecem
ímpares:
Uma forma explícita agrupando os índices ímpares é
Como observação prática: se quiser recuperar a forma real mais familiar, usando identidades trigonométricas essa soma complexa equivale à série de senos
mas a resposta solicitada era a série complexa, que já demos acima.]