Calcule a série de Fourier Complexa da onda quadrada:
f(t)=\left\{\begin{array}{ll} -1 ; & -\pi \leq t<0 \\ 1 ; & 0 \leq t<\pi \end{array} ; f(t+2 \pi)=f(t)\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série de Fourier complexa da função periódica de período 2\pi\) definida por \[f(t)=\begin{cases} -1, & -\pi \le t<0,\\[4pt] 1, & 0 \le t<\pi, \end{cases}\qquad f(t+2\pi)=f(t).
Informações relevantes dadas:
\text{Período }T=2\pi,\qquad f(t)=\pm1\text{ em metades do período, com média zero.}ííé
A tarefa é encontrar os coeficientes complexos (c_n] tais que
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t}.]

Passo 2

Fórmula que vamos usar: para uma função periódica de período 2\pi os coeficientes da série de Fourier complexa são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,e^{-i n t}\,dt,
para todo inteiro n. Explicando a fórmula de forma simples: c_n é o “peso” do modo harmônico e^{i n t} na função f; multiplicamos f por e^{-i n t} (a conjugada complexa do modo) e integramos sobre um período, normalizando por 1/(2\pi). Nesta fórmula, n é um inteiro (positivo, zero ou negativo) e i é a unidade imaginária.

Passo 3

Calculemos c_n para n\neq 0. Como f é definido por partes, separamos a integral:
c_n=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi} 1\cdot e^{-i n t}\,dt+\int_{-\pi}^{0}(-1)\cdot e^{-i n t}\,dt\right).
Agora computamos as integrais (assumindo n\neq 0):
a primária:
\int_{0}^{\pi} e^{-i n t}\,dt=\left[\frac{e^{-i n t}}{-i n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{e^{-i n\pi}-1}{-i n},
a segunda:
\int_{-\pi}^{0} e^{-i n t}\,dt=\left[\frac{e^{-i n t}}{-i n}\right]_{-\pi}^{0}=\frac{1-e^{i n\pi}}{-i n}.
Lembre que nesta segunda integral aparecerá o fator -1 de f(t)=-1 no intervalo [-\pi,0).

Passo 4

Substituindo as duas integrais em c_n (lembrando o -1 na segunda parte):
c_n=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{e^{-i n\pi}-1}{-i n}-\frac{1-e^{i n\pi}}{-i n}\right).
Colocando em evidência o denominador comum -i n:
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{-i n\pi}-1-(1-e^{i n\pi})}{-i n} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{i n\pi}+e^{-i n\pi}-2}{-i n}.
Usamos que e^{i n\pi}+e^{-i n\pi}=2\cos(n\pi) e \cos(n\pi)=(-1)^n. Assim o numerador vira 2((-1)^n-1). Portanto
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{-i n} =\frac{1-(-1)^n}{i\pi n}.

Passo 5

Interpretação do resultado para n\neq 0:
  • Se n é par, então (-1)^n=1 e 1-(-1)^n=0, logo c_n=0 para todo n par.
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, logo para n ímpar
c_n=\frac{2}{i\pi n}=-\frac{2i}{\pi n}.
Portanto apenas os modos com n ímpar têm coeficiente não-nulo.

Passo 6

Cálculo especial de c_0 (média da função):
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt=\frac{1}{2\pi}\biggl(\int_{0}^{\pi}1\,dt+\int_{-\pi}^{0}(-1)\,dt\biggr) =\frac{1}{2\pi}(\pi-\pi)=0.
Isso confirma que a média da função em um período é zero.

Passo 7

Escrevendo a série de Fourier complexa completa, lembrando que só aparecem n ímpares:
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t} \qquad\text{com}\qquad c_n=\begin{cases} 0, & n\text{ par (incluindo }n=0),\\[4pt] \dfrac{2}{i\pi n}=-\dfrac{2i}{\pi n}, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í
Uma forma explícita agrupando os índices ímpares é
f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2}{i\pi(2k+1)}\,e^{i(2k+1)t}.
Como observação prática: se quiser recuperar a forma real mais familiar, usando identidades trigonométricas essa soma complexa equivale à série de senos
f(t)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)t\bigr)}{2k+1},
mas a resposta solicitada era a série complexa, que já demos acima.]

Resposta

c_n=\begin{cases} 0, & n\text{ par (incluindo }n=0),\\[6pt] \dfrac{2}{i\pi n}=-\dfrac{2i}{\pi n}, & n\text{ ímpar}, \end{cases}í
f(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2}{i\pi(2k+1)}\,e^{i(2k+1)t}.]

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