Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=2 e^{-3 t} cos (5 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o sinal
f(t)=2 e^{-3 t}\cos(5 t)\,u(t).
As perguntas são:
  1. Escrever (em forma de tabela) a transformada de Fourier do sinal dado.
  2. Fornecer um programa Scilab que plote o sinal no tempo e a sua transformada (pelo menos magnitude e fase).
Informações relevantes fornecidas:
  • O sinal é causal (multiplicado por u(t)), ou seja está definido a partir de t=0.
  • O fator exponencial tem taxa de decaimento 3>0, o que garante convergência da transformada de Fourier clássica.
  • A parte oscilatória é \cos(5t) (frequência angular 5 rad/s).
  • O ganho multiplicativo é 2.

Passo 2

Relembrando a definição/fato básico que vamos usar (aulas rápidas):
  • A transformada de Fourier de um sinal causal exponencial decrescente \displaystyle e^{-a t}u(t) com \operatorname{Re}(a)>0 é
\mathcal{F}\{e^{-a t}u(t)\}(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-a t}e^{-j\omega t}\,dt=\frac{1}{a+j\omega}.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), j é a unidade imaginária, e a condição \operatorname{Re}(a)>0 garante que a integral converge.
Explanação simples: a integral é uma integral de decaimento exponencial complexa; integrar \int_0^\infty e^{-at} dt 1/a quando \operatorname{Re}(a)>0. No caso complexo, substituímos a por a+j\omega.

Passo 3

Expressar \cos(5t) como soma de exponenciais complexas — isto facilita integrar termo a termo:
\cos(5t)=\frac{e^{j5t}+e^{-j5t}}{2}.
Então o sinal fica
f(t)=2 e^{-3t}\cdot\frac{e^{j5t}+e^{-j5t}}{2}\,u(t)=e^{-3t}\big(e^{j5t}+e^{-j5t}\big)u(t).
Observe que o fator 2 cancelou com o 1/2 da expressão da cosseno—muito conveniente.

Passo 4

Aplicar a linearidade da transformada de Fourier e a propriedade de deslocamento em frequência (multiplicação por e^{\pm j5t} corresponde a deslocar \omega para \omega\mp 5 na transformada do termo base).
Fazendo diretamente a integral (durante a prova é bom saber ambos os jeitos; aqui faço a integral termo a termo):
\begin{aligned} F(\omega)&=\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) =\int_{0}^{\infty}e^{-3t}\big(e^{j5t}+e^{-j5t}\big)e^{-j\omega t}\,dt\\[4pt] &=\int_{0}^{\infty}e^{-3t}e^{-j(\omega-5)t}\,dt+\int_{0}^{\infty}e^{-3t}e^{-j(\omega+5)t}\,dt. \end{aligned}
Em cada integral usamos a fórmula do Passo 2 com a=3+j(\omega-5) e a=3+j(\omega+5). Como \operatorname{Re}(3)>0, ambas convergem.
Então
F(\omega)=\frac{1}{3+j(\omega-5)}+\frac{1}{3+j(\omega+5)}.]

Passo 5

Podemos deixar a resposta em várias formas equivalentes. Uma forma compacta (já obtida) é
\boxed{F(\omega)=\frac{1}{3+j(\omega-5)}+\frac{1}{3+j(\omega+5)}.}
Se quiser, dá para combinar as frações em um único quociente. Vou mostrar esse passo algébrico, mas na prova a forma em soma de termos simples costuma ser a mais clara:
\begin{aligned} F(\omega)&=\frac{3-j(\omega-5)}{3^2+(\omega-5)^2}+\frac{3-j(\omega+5)}{3^2+(\omega+5)^2}\\[4pt] &=\text{(somar numeradores sobre denominadores respectivos)}. \end{aligned}
Essa forma separa as partes real e imaginária explicitamente, útil para analisar amplitude e fase. Mas atenção: para cálculo e plots, a forma de soma de dois polos é mais prática.]

Passo 6

Agora atendo ao pedido explícito: “Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier”. Abaixo segue a tabela com o sinal e sua transformada.
Sinal f(t) Transformada F(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega)
\displaystyle f(t)=2 e^{-3 t}\cos(5 t)\,u(t) \displaystyle F(\omega)=\frac{1}{3+j(\omega-5)}+\frac{1}{3+j(\omega+5)}

Passo 7

Como plotar no Scilab — explicação didática e numérica:
  • Para plotar o sinal no tempo escolha um vetor de tempo t\ge 0, por exemplo t\in[0,\,T] com passo pequeno ( \Delta t) para boa resolução. O sinal decai rápido porque tem fator e^{-3t}; tomar T=4 ou 5 já mostra bem o comportamento.
  • Para a transformada, como temos expressão analítica para F(\omega), é melhor calcular F(\omega) diretamente para um vetor de frequências \omega (em rad/s), por exemplo \omega\in[-20,20].
  • Cálculo de magnitude: \lvert F(\omega)\rvert; fase: \arg F(\omega)=\operatorname{atan2}(\operatorname{Im}F,\operatorname{Re}F). Em Scilab, podemos usar abs() e atan(imag(F)./real(F)) (ou função que trate quadrante se disponível).
  • Atenção à notação complexa no Scilab: a unidade imaginária é %i. Operações elementwise usam .*, ./, ^ etc. (usar ./ para divisão elemento a elemento).

Passo 8

Programa Scilab (com comentários) que plota o sinal no tempo e a transformada (magnitude e fase). Copie e cole no Scilab; deve rodar sem modificações básicas.
// Plots para f(t)=2*exp(-3*t)*cos(5*t)*u(t) e sua transformada analítica
// Parâmetros
T = 5;        // tempo máximo (s)
dt = 0.001;   // passo no tempo
t = 0:dt:T;   // vetor de tempo

// Sinal no tempo (causal, portanto t>=0)
f = 2*exp(-3*t).*cos(5*t); // já é zero para t<0 porque criamos t>=0

// Vetor de frequências (rad/s)
wmax = 20;
Nw = 2000;
w = linspace(-wmax, wmax, Nw);

// Transformada analítica F(w) = 1/(3 + j(w-5)) + 1/(3 + j(w+5))
F = 1 ./ (3 + %i*(w-5)) + 1 ./ (3 + %i*(w+5));

// Magnitude e fase
MagF = abs(F);
PhaseF = atan(imag(F) ./ real(F)); // fase principal (aproximação); para melhor quadrante, usar uma função atan2 se disponível

// Plots
clf();

// plot do sinal no tempo
subplot(3,1,1);
plot(t, f);
xtitle("Sinal no tempo: f(t)=2 e^{-3t} cos(5t) u(t)", "t (s)", "f(t)");
xgrid(1);

// plot magnitude da transformada
subplot(3,1,2);
plot(w, MagF);
xtitle("Magnitude |F(ω)|", "ω (rad/s)", "|F(ω)|");
xgrid(1);

// plot fase da transformada
subplot(3,1,3);
plot(w, PhaseF);
xtitle("Fase ∠F(ω) (rad, aproximação)", "ω (rad/s)", "fase (rad)");
xgrid(1);

// Ajustes visuais opcionais:
// a) Limitar eixo y para melhor visualização se necessário
// b) Usar função atan2 se disponível para obter fase com quadrante correto

Passo 9

Dicas rápidas para a prova:
  • Se te pedirem apenas a transformada, aplique a decomposição do cosseno em exponenciais e use a transformada de e^{-at}u(t).
  • Verifique sempre a condição de convergência ( \operatorname{Re}(a)>0).
  • Memorize o par básico \mathcal{F}\{e^{-a t}u(t)\} = 1/(a+j\omega). Com isso, sinais do tipo e^{-a t}\cos(\omega_0 t)u(t) e e^{-a t}\sin(\omega_0 t)u(t) são diretos.

Resposta

Sinal f(t) Transformada F(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega)
\displaystyle f(t)=2 e^{-3 t}\cos(5 t)\,u(t) \displaystyle F(\omega)=\frac{1}{3+j(\omega-5)}+\frac{1}{3+j(\omega+5)}
// Plots para f(t)=2*exp(-3*t)*cos(5*t)*u(t) e sua transformada analítica
T = 5; dt = 0.001; t = 0:dt:T;
f = 2*exp(-3*t).*cos(5*t);
wmax = 20; Nw = 2000; w = linspace(-wmax, wmax, Nw);
F = 1 ./ (3 + %i*(w-5)) + 1 ./ (3 + %i*(w+5));
MagF = abs(F);
PhaseF = atan(imag(F) ./ real(F));
clf();
subplot(3,1,1); plot(t, f); xtitle("Sinal no tempo: f(t)=2 e^{-3t} cos(5t) u(t)", "t (s)", "f(t)"); xgrid(1);
subplot(3,1,2); plot(w, MagF); xtitle("Magnitude |F(ω)|", "ω (rad/s)", "|F(ω)|"); xgrid(1);
subplot(3,1,3); plot(w, PhaseF); xtitle("Fase ∠F(ω) (rad, aproximação)", "ω (rad/s)", "fase (rad)"); xgrid(1);

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