A série de Fourier pode ser vista como um caso especial da TF . Quais as condições para um sinal possuir série de Fourier? Como se pode calcular a série de Fourier de um sinal periódico f_{T}(t), com período T .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (i) listar as condições que um sinal deve satisfazer para que exista sua série de Fourier; (ii) explicar como calcular a série de Fourier de um sinal periódico f_{T}(t) de período T.
Informações dadas: temos um sinal periódico f_{T}(t) com período T. Não há função explícita fornecida, então devemos dar condições gerais e as fórmulas gerais de cálculo.
Passo 2
O que é, na prática, a série de Fourier (intuitivamente)?
A ideia é representar o sinal periódico f_{T}(t) como soma de senos e cossenos (ou exponenciais complexas) cujas frequências são múltiplos inteiros da frequência fundamental f_0=\tfrac{1}{T}. Isso funciona porque as funções \cos\!\big(2\pi n f_0 t\big) e \sin\!\big(2\pi n f_0 t\big) (ou e^{j2\pi n f_0 t}) formam uma “base” ortogonal para sinais periódicos bem-comportados. Na prova, você terá que reduzir o problema a calcular integrais de projeção sobre essas funções.
Passo 3
Quais condições garantem que faz sentido procurar a série? (condições práticas — versão Dirichlet, explicada passo-a-passo)
Periodicidade: f_{T}(t+\!T)=f_{T}(t) para todo t. (Obviamente, sem isso não é série de Fourier periódica.)
Integrabilidade absoluta em um período (condição técnica prática):
Isto garante que os coeficientes definidos por integrais existem (são finitos). Em provas costuma-se tomar t_0=-T/2 ou t_0=0.
Condição de Dirichlet (para convergência pontual clássica):
no intervalo de um período, f_{T}(t) tem número finito de máximos e mínimos;
no intervalo de um período, f_{T}(t) tem número finito de descontinuidades, e cada descontinuidade é do tipo salto finito (ou seja, limites laterais finitos).
Se essas condições são satisfeitas, a série de Fourier converge para \tfrac{f_{T}(t^+)+f_{T}(t^-)}{2} em todo t (ou seja, ao valor médio no ponto de salto) e para f_{T}(t) nos pontos de continuidade.
Observação prática (condição em energia): se f_{T}\in L^2 num período, isto é,
então existe a série de Fourier na sentido de convergência em média quadrática (convergência em L^2). Isto é útil quando a função não satisfaz todas as Dirichlet, mas é de energia finita.
Comentários didáticos: pense assim — para a prova, checar periodicidade e integrabilidade (ou L^2) e verificar se só há um número finito de saltos e extremos é o suficiente para aplicar as fórmulas padrão e afirmar convergência pontual (com a regra da média nos saltos).
Passo 4
Formas da série de Fourier que você deve saber (escrevo as duas formas mais usadas e explico cada termo).
Forma trigonométrica (real):
f_{T}(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big[a_n\cos\big(2\pi n f_0 t\big)+b_n\sin\big(2\pi n f_0 t\big)\big],
onde f_0=\tfrac{1}{T}. Aqui:
a_0 é o coeficiente DC (média sobre um período);
a_n são coeficientes das cossenos (modo n);
b_n são coeficientes dos senos (modo n).
Forma complexa (exponencial):
f_{T}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j2\pi k f_0 t},
onde os c_k são coeficientes complexos que contêm amplitude e fase das harmônicas.
Passo 5
Como obter as fórmulas para os coeficientes — ideia via ortogonalidade (passo-a-passo de prova curta e prática).
Ortogonalidade básica (estas fórmulas são fundamentais e você pode memorizá-las):
\int_{t_0}^{t_0+T}\cos\big(2\pi n f_0 t\big)\cos\big(2\pi m f_0 t\big)\,dt= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \tfrac{T}{2},& n=m\ne 0, \end{cases}
\int_{t_0}^{t_0+T}\sin\big(2\pi n f_0 t\big)\sin\big(2\pi m f_0 t\big)\,dt= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \tfrac{T}{2},& n=m, \end{cases}
\int_{t_0}^{t_0+T}\cos\big(2\pi n f_0 t\big)\sin\big(2\pi m f_0 t\big)\,dt=0\quad\text{para todos }m,n.
Essas igualdades vêm de identidades trigonométricas e integrais sobre um período.
Agora o procedimento: multiplica ambos os lados da série trigonométrica por \cos(2\pi m f_0 t) e integra sobre um período; todos os termos desaparecem exceto o termo com a_m, permitindo isolar a_m. O mesmo com \sin para obter b_m. Para a_0, integra-se a série sem multiplicar.]
Passo 6
Escrevo explicitamente as fórmulas finais dos coeficientes (essas são as que você usará na prova):
Fórmulas trigonométricas:
a_0=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)\,dt,
a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)\cos\big(2\pi n f_0 t\big)\,dt\quad\text{para }n\ge 1,
b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)\sin\big(2\pi n f_0 t\big)\,dt\quad\text{para }n\ge 1.
Observações: você pode escolher qualquer t_0; normalmente escolhemos t_0=-T/2 ou t_0=0 pelo conforto de integração.
Fórmulas complexas:
c_k=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)\,e^{-j2\pi k f_0 t}\,dt\quad\text{para }k\in\mathbb{Z},
e a reconstrução é
f_{T}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j2\pi k f_0 t}.
Dicas práticas para a prova — como aplicar isso passo-a-passo num exercício:
Escolha um intervalo conveniente de comprimento T (por exemplo, 0 a T ou -T/2 a T/2). Escreva as integrais dos coeficientes sobre esse intervalo.
Verifique simetrias: se f_T é par, então todos b_n=0 (só cossenos). Se f_T é ímpar, então todos a_n=0 (só senos). Usar simetria reduz trabalho.
Se f_T for definido por pedaços (função em degrau), compute integrais por partes somando as contribuições de cada pedaço. Cuidado com limites laterais em pontos de descontinuidade.
Use identidades trigonométricas para simplificar integrais (por exemplo, produto em soma).
Nos pontos de descontinuidade, lembre-se: a série converge para a média dos limites laterais. Escreva isso explicitamente se pedirem o valor no ponto.
Para funções com expressões simples (polinômios, exponenciais), calcule diretamente as integrais; para funções com repetição, calcule uma integral genérica e observe padrão para n.
Passo 8
Exemplo curto (para fixar o procedimento): suponha f_T(t)=1 (onda constante de período T). Em provas é bom checar um caso trivial.
a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} \cos(2\pi n f_0 t)\,dt=0,
b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} \sin(2\pi n f_0 t)\,dt=0.
Logo a série é f_T(t)=\tfrac{a_0}{2}=1, ou seja, apenas o termo DC. Mesmo exemplo mostra que as fórmulas funcionam e que integrar over a period dá coeficientes corretos.
Passo 9
Comentários finais e encorajamento rápido: memorize as fórmulas dos coeficientes, decore as regras de simetria (par → só cosseno, ímpar → só seno), e pratique integrando funções por pedaços. Na prova, escreva sempre explicitamente o intervalo de integração e a frequência f_0=\tfrac{1}{T}. Você consegue — respira, faz um exercício por vez e usa essas receitas.
Resposta
Condições (resumo prático): f_{T}(t) periódica com período T; \displaystyle\int_{t_0}^{t_0+T}|f_{T}(t)|\,dt<\infty (integrável) e, para convergência pontual clássica, satisfaça as condições de Dirichlet (número finito de máximos/mínimos e descontinuidades de salto finito por período). Alternativamente, se f_T\in L^2 em um período, existe a série com convergência em média quadrática.
Cálculo (fórmulas que se aplicam em prova): f_0=\tfrac{1}{T},
f_{T}(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big[a_n\cos(2\pi n f_0 t)+b_n\sin(2\pi n f_0 t)\big],
a_0=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)\,dt,\quad a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)\cos(2\pi n f_0 t)\,dt,
b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)\sin(2\pi n f_0 t)\,dt\quad(n\ge1).
ou, na forma complexa,
f_{T}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j2\pi k f_0 t},\quad c_k=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_{T}(t)e^{-j2\pi k f_0 t}\,dt.