Calcule as sesguintes integrais utilizndo o teorema de Green: , onde é a fronteira da região limitada por e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo da curva , que é a fronteira da região limitada pelas curvas e . Vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região . As equações e representam uma parábola e uma linha reta, respectivamente. Resolvendo , substituímos na primeira equação:
Então, a região limitada é entre e , e entre a parábola e a linha .
Passo 3
Agora, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que uma integral de linha ao longo de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
No nosso caso, e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular a área da região .
Passo 6
A região está entre e , com variando de a . Então, a integral para a área é: