Calcule as sesguintes integrais utilizndo o teorema de Green:
ointgamma(cos (x)-5 y) d x+(4 x-y^-1) d y, onde gamma é a fronteira da região limitada por y+x^2-9=0 e y-5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo da curva gamma, que é a fronteira da região limitada pelas curvas y + x^2 - 9 = 0 e y - 5 = 0. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região gamma. As equações y + x^2 - 9 = 0 e y - 5 = 0 representam uma parábola e uma linha reta, respectivamente. Resolvendo y = 5, substituímos na primeira equação:
5 + x^2 - 9 = 0 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então, a região limitada é entre x = -2 e x = 2, e entre a parábola y = 9 - x^2 e a linha y = 5.

Passo 3

Agora, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que uma integral de linha ao longo de uma curva fechada gamma pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região D delimitada por gamma:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
No nosso caso, P = cos(x) - 5y e Q = 4x - y^-1.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(4x - y^-1) = 4
partial Ppartial y = partialpartial y(cos(x) - 5y) = -5
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4 - (-5) = 9

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 9,dx,dy = 9 integral duplaD dx,dy
Isso significa que precisamos calcular a área da região D.

Passo 6

A região D está entre y = 5 e y = 9 - x^2, com x variando de -2 a 2. Então, a integral para a área é:
integral duplaD dx,dy = integral-2^2 integral5^9 - x^2 dy,dx

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral5^9 - x^2 dy = (9 - x^2) - 5 = 4 - x^2
Agora, a integral fica:
integral-2^2 (4 - x^2) dx

Passo 8

Calculando essa integral:
integral-2^2 4,dx = 4x |-2^2 = 4(2) - 4(-2) = 8 + 8 = 16
integral-2^2 x^2,dx = x^33 |-2^2 = 83 - (-83) = 163
Então,
integral-2^2 (4 - x^2) dx = 16 - 163 = 483 - 163 = 323

Passo 9

Agora, voltando à integral dupla:
integral duplaD 9,dx,dy = 9 times 323 = 96

Resposta

A integral dada é igual a 96.

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