Calcule ou simplifique as expressões
\sqrt[3]{\sqrt{\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{4}}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular/simplificar a expressão
\sqrt[3]{\sqrt{\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{4}}}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • A expressão envolve radicais aninhados: uma raiz quadrada interior \sqrt{x^{3}}, uma potência (\cdot)^{4}, outra raiz quadrada e, por fim, uma raiz cúbica.
  • Deve-se cuidar da definição das raízes (principal) e das implicações sobre o domínio de x quando trabalhamos com raízes pares.

Passo 2

Relembrando regras importantes (muito úteis para a prova):
  • A raiz quadrada principal \sqrt{y} está definida como o número não negativo cujo quadrado é y. Portanto \sqrt{y} só é real quando y\ge 0.
  • A raiz cúbica principal \sqrt[3]{y} está definida para todo y\in\mathbb{R} e preserva o sinal (se y é positivo, raiz cúbica é positiva; se y é negativo, raiz cúbica é negativa).
  • Quando aplicamos potências e raízes sucessivamente, devemos respeitar a ordem das operações e os domínios intermediários; não se pode aplicar a fórmula (a^b)^c=a^{bc} livremente se a^b não estiver definida como número real.
  • Para evitar erros: primeiro verificar qual subexpressão exige restrição de domínio (aqui, a raiz quadrada interior).

Passo 3

Verificar domínio da expressão começando da parte mais interna:
  • A subexpressão mais interna é \sqrt{x^{3}}. Para que isso seja um número real, é necessário ter
x^{3}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 0.
Portanto, para a expressão toda ser real, devemos ter x\ge 0. A partir de agora consideramos x\ge 0 e trabalhamos com números reais e as raízes principais.

Passo 4

Calcular passo a passo mantendo a ordem de avaliação (com x\ge 0):
  1. A parte interna:
\sqrt{x^{3}} = (x^{3})^{1/2}.
Como x\ge 0, podemos simplificar potências com expoentes racionais normalmente, escrevendo
\sqrt{x^{3}} = x^{3/2}.
(Comentário didático: se x fosse negativo essa igualdade não seria válida no conjunto dos reais porque \sqrt{x^3} não estaria definida.)

Passo 5

  1. Elevar ao quarto:
\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{4} = \left(x^{3/2}\right)^{4}.
Ao multiplicar expoentes obtemos
\left(x^{3/2}\right)^{4} = x^{(3/2)\cdot 4} = x^{6}.
(Observação: aqui x^{6} está bem definido para todo x, mas lembramos que já restringimos x\ge 0 pela raiz interior.)

Passo 6

  1. Aplicar a raiz quadrada exterior:
\sqrt{\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{4}} = \sqrt{x^{6}}.
Como estamos considerando x\ge 0, tem-se \sqrt{x^{6}} = x^{3} (a raiz quadrada principal de x^{6} é x^{3} quando x\ge0). Portanto
\sqrt{\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{4}} = x^{3}.

Passo 7

  1. Por fim, aplicar a raiz cúbica:
\sqrt[3]{\sqrt{\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{4}}} = \sqrt[3]{x^{3}}.
A raiz cúbica principal de x^{3} é x para todo x; como já temos x\ge 0, fica simplesmente
\sqrt[3]{x^{3}} = x.

Resposta

\,x,\\ \text{para }x\ge 0

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