Calcule ou simplifique as expressões
Passo 1
O enunciado pede para calcular/simplificar a expressão
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- A expressão envolve radicais aninhados: uma raiz quadrada interior
, uma potência , outra raiz quadrada e, por fim, uma raiz cúbica. - Deve-se cuidar da definição das raízes (principal) e das implicações sobre o domínio de
quando trabalhamos com raízes pares.
Passo 2
Relembrando regras importantes (muito úteis para a prova):
- A raiz quadrada principal
está definida como o número não negativo cujo quadrado é . Portanto só é real quando . - A raiz cúbica principal
está definida para todo e preserva o sinal (se é positivo, raiz cúbica é positiva; se é negativo, raiz cúbica é negativa). - Quando aplicamos potências e raízes sucessivamente, devemos respeitar a ordem das operações e os domínios intermediários; não se pode aplicar a fórmula
livremente se não estiver definida como número real. - Para evitar erros: primeiro verificar qual subexpressão exige restrição de domínio (aqui, a raiz quadrada interior).
Passo 3
Verificar domínio da expressão começando da parte mais interna:
- A subexpressão mais interna é
. Para que isso seja um número real, é necessário ter
Portanto, para a expressão toda ser real, devemos ter
. A partir de agora consideramos
e trabalhamos com números reais e as raízes principais.
Passo 4
Calcular passo a passo mantendo a ordem de avaliação (com
):
- A parte interna:
Como
, podemos simplificar potências com expoentes racionais normalmente, escrevendo
(Comentário didático: se
fosse negativo essa igualdade não seria válida no conjunto dos reais porque
não estaria definida.)
Passo 5
- Elevar ao quarto:
Ao multiplicar expoentes obtemos
(Observação: aqui
está bem definido para todo
, mas lembramos que já restringimos
pela raiz interior.)
Passo 6
- Aplicar a raiz quadrada exterior:
Como estamos considerando
, tem-se
(a raiz quadrada principal de
é
quando
). Portanto
Passo 7
- Por fim, aplicar a raiz cúbica:
A raiz cúbica principal de
é
para todo
; como já temos
, fica simplesmente