Exercício 7 Calcule, caso exista, \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} sen \left(\frac{1}{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 0} x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações que temos do enunciado:
  • A função examinada é f(x)=x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
  • Queremos o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 0 (pela direita e pela esquerda).

Passo 2

Observação útil sobre a função seno: para todo número real t vale
-1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.
Essa desigualdade é básica e significa que a função seno é limitada entre -1 e 1. Se eu substituir t=\dfrac{1}{x} (para x\neq0) continuo tendo
-1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade acima por x^{2}, que é sempre não-negativo, obtemos (para x\neq0)
-x^{2} \le x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2}.
Explicando: como x^{2}\ge 0, o sentido das desigualdades não se inverte ao multiplicar. Essa desigualdade coloca nossa função entre as duas funções mais simples -x^{2} e x^{2}.

Passo 4

Vou usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze theorem). Ele diz: se para todo x próximo de a vale g(x)\le f(x)\le h(x) e
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então \lim_{x\to a} f(x)=L. Aqui podemos aplicar com g(x)=-x^{2}, f(x)=x^{2}\operatorname{sen}(1/x) e h(x)=x^{2}.

Passo 5

Calculo os limites das funções que apertam f:
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0, \qquad \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Justificativa: funções polinomiais são contínuas, logo basta substituir x=0 para obter os limites; ou, se preferir ver com \varepsilon- \delta, nota-se que |x^{2}-0|=x^{2} fica arbitrariamente pequeno quando x está próximo de 0.

Passo 6

Como x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está preso entre -x^{2} e x^{2}, e ambos esses limites tendem a 0 quando x\to0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0} x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Intuição amigável: mesmo que \operatorname{sen}(1/x) oscile muito quando x\to0, o fator x^{2} reduz a amplitude das oscilações a zero.

Resposta

0

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