Exercício 7 Calcule, caso exista,
sen
.
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o limite
Informações que temos do enunciado:
- A função examinada é
. - Queremos o comportamento de
quando se aproxima de (pela direita e pela esquerda).
Passo 2
Observação útil sobre a função seno: para todo número real
vale
Essa desigualdade é básica e significa que a função seno é limitada entre
e
. Se eu substituir
(para
) continuo tendo
Passo 3
Multiplicando a desigualdade acima por
, que é sempre não-negativo, obtemos (para
)
Explicando: como
, o sentido das desigualdades não se inverte ao multiplicar. Essa desigualdade coloca nossa função entre as duas funções mais simples
e
.
Passo 4
Vou usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze theorem). Ele diz: se para todo
próximo de
vale
e
então
. Aqui podemos aplicar com
,
e
.
Passo 5
Calculo os limites das funções que apertam
:
Justificativa: funções polinomiais são contínuas, logo basta substituir
para obter os limites; ou, se preferir ver com
-
, nota-se que
fica arbitrariamente pequeno quando
está próximo de
.
Passo 6
Como
está preso entre
e
, e ambos esses limites tendem a
quando
, pelo Teorema do Confronto segue que
Intuição amigável: mesmo que
oscile muito quando
, o fator
reduz a amplitude das oscilações a zero.