Calcule o pH de uma solução 0,24 \mathrm{M} de uma base fraca com K_{b} de 3,5 \cdot 10^{-6}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: calcular o valor do \mathrm{pH} de uma solução de base fraca.
  • Dados fornecidos:
    • Concentração inicial da base fraca: C = 0,24\\ \mathrm{M}.
    • Constante de basicidade: K_b = 3,5\cdot10^{-6}.
  • Objetivo final: encontrar \mathrm{pH} da solução.

Passo 2

Modelo químico e definição da constante K_b.
  • Para uma base genérica B em água, a reação de ionização é
B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^-.
  • A constante de basicidade K_b é definida por
K_b = \frac{[BH^+][OH^-]}{[B]}.
  • Vamos chamar de x a concentração de OH^- formada no equilíbrio; então nas concentrações em equilíbrio teremos:
    • [OH^-] = x,
    • [BH^+] = x,
    • [B] = C - x.

Passo 3

Montar a expressão de K_b em termos de x e simplificar com a aproximação para bases fracas.
  • Substituindo na definição:
K_b = \frac{x\cdot x}{C - x} = \frac{x^2}{C - x}.
  • Para bases fracas e concentrações moderadas costuma-se usar a aproximação C - x \approx C quando x é muito menor que C. Assim:
K_b \approx \frac{x^2}{C} \quad\Rightarrow\quad x \approx \sqrt{K_b \, C}.
  • Vou usar essa aproximação inicialmente (depois verificamos se é válida).

Passo 4

Calcular x=[OH^-] numericamente.
  • Primeiro calcular o produto K_b\cdot C:
K_b\cdot C = 3,5\cdot10^{-6}\times 0,24 = 8,4\cdot10^{-7}.
  • Agora a raiz quadrada:
x \approx \sqrt{8,4\cdot10^{-7}} \approx 9,16\cdot10^{-4}\\ \mathrm{M}.
  • Ou seja,
[OH^-] \approx 9,16\cdot10^{-4}\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Calcular \mathrm{pOH} e depois \mathrm{pH}.
  • Definição de \mathrm{pOH}:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}([OH^-]).
  • Usando [OH^-]=9,16\cdot10^{-4}:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}(9,16\cdot10^{-4}) = 4 - \log_{10}(9,16) \approx 4 - 0,962 \approx 3,04.
  • Relação entre \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} em água a 25^\circ\mathrm{C}:
\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14.
  • Portanto
\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH} \approx 14 - 3,04 = 10,96.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação C - x \approx C.
  • Calcular a fração ionizada:
\frac{x}{C} \approx \frac{9,16\cdot10^{-4}}{0,24} \approx 0,00382 \approx 0{,}38\%.
  • Como é muito menor que 5\%, a aproximação é perfeitamente válida e o valor de \mathrm{pH} obtido é confiável.

Resposta

\mathrm{pH}\approx 10,96

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