Calcule a soma entre os vetores
e
e represente graficamente essa operação. Em seguida, calcule o produto do número real
com o vetor
.
;
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi dado):
- O vetor
é . - O vetor
é . - O número real
é .
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a soma dos vetores
e , isto é , e representar graficamente essa soma. - Calcular o produto do número real
pelo vetor , isto é , e entender o efeito geométrico desse produto.
Passo 2
Entendendo vetores em coordenadas (conceito necessário antes de calcular).
- Um vetor no plano é representado por suas componentes
. Essas componentes são as projeções do vetor nos eixos (horizontal) e (vertical). - Para um vetor
: -
é a componente horizontal (quanto o vetor anda para a direita; se for negativo, anda para a esquerda). -
é a componente vertical (quanto o vetor anda para cima; se for negativo, anda para baixo).
-
- No problema, para
temos e . Para temos e .
Passo 3
Regra de adição de vetores em coordenadas (fórmula e explicação).
- A soma de dois vetores é feita componente a componente. Se
e , então
- Cada componente do resultado é simplesmente a soma das componentes correspondentes dos vetores originais. Isso corresponde geometricamente a aplicar a regra do paralelogramo ou a regra “ponta–cauda”.
Agora aplico a fórmula aos vetores dados:
Faço as somas:
Portanto
Passo 4
Como representar graficamente
,
e
(passo a passo para desenhar na folha — faça assim na prova).
- Marca um sistema de eixos cartesianos com origem
. - Desenhe o vetor
: - Parta da origem
e vá até o ponto . É uma seta vertical para cima de comprimento .
- Parta da origem
- Desenhe o vetor
: - Parta da origem
e vá até o ponto . É uma seta horizontal para a direita de comprimento .
- Parta da origem
- Representar
: - Ponto final será
. Desenhe a seta de até ; essa é a soma. - Alternativa pelo método ponta–cauda: coloque a cauda de
na ponta de (ou vice-versa). Ou seja, a partir da ponta de em desenhe um segmento igual a indo para a direita até . A seta que vai da origem até é . - Alternativa pelo paralelogramo: a partir de
desenhe e ; complete o paralelogramo e a diagonal que sai de é .
- Ponto final será
- Coordenadas úteis para marcar no desenho:
, ponta de , ponta de , ponta de .
Dica visual:
aponta para cima,
para a direita, e
aponta para a diagonal nordeste até
. Isso confirma que a soma combinou o deslocamento vertical de
com o deslocamento horizontal de
.
Passo 5
Regra de multiplicação de vetor por escalar (fórmula e explicação).
- Se
e é um número real, então o produto escalar (multiplicação por escalar) é
- Geometricamente:
- O módulo (comprimento) do vetor é multiplicado por
. - O sentido (direção) do vetor é mantido se
e é invertido se . - Se
o tamanho permanece igual (apenas possivelmente inverte se ).
- O módulo (comprimento) do vetor é multiplicado por
Agora aplico a fórmula com
e
:
Faço as multiplicações:
Portanto
Passo 6
Interpretação geométrica de
(como desenhar e o que acontece).
- Comece com
: era uma seta para cima de comprimento . - Multiplicar por
inverte a direção e preserva o comprimento, porque . - Logo
é uma seta apontando para baixo, de ponta em e de mesma distância da origem que . - No desenho: marque o ponto
e desenhe a seta de até .
Passo 7
Verificação por norma (cheque rápido, útil na prova para confirmar erros).
- Norma de
:
- Norma de
:
- Norma de
:
- Norma de
:
o que coincide com a norma calculada diretamente para
:
Tudo consistente: soma e multiplicação estão corretas.