Calcule a soma entre os vetores u e v e represente graficamente essa operação. Em seguida, calcule o produto do número real r com o vetor u.
u=(0,1), v=(1,0), r=-1;

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi dado):
  • O vetor u é u=(0,1).
  • O vetor v é v=(1,0).
  • O número real r é r=-1.
O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a soma dos vetores u e v, isto é u+v, e representar graficamente essa soma.
  2. Calcular o produto do número real r pelo vetor u, isto é r\,u, e entender o efeito geométrico desse produto.

Passo 2

Entendendo vetores em coordenadas (conceito necessário antes de calcular).
  • Um vetor no plano é representado por suas componentes (x,y). Essas componentes são as projeções do vetor nos eixos x (horizontal) e y (vertical).
  • Para um vetor \mathbf{a}=(a_x,a_y):
    • a_x é a componente horizontal (quanto o vetor anda para a direita; se for negativo, anda para a esquerda).
    • a_y é a componente vertical (quanto o vetor anda para cima; se for negativo, anda para baixo).
  • No problema, para u=(0,1) temos u_x=0 e u_y=1. Para v=(1,0) temos v_x=1 e v_y=0.

Passo 3

Regra de adição de vetores em coordenadas (fórmula e explicação).
  • A soma de dois vetores é feita componente a componente. Se \mathbf{a}=(a_x,a_y) e \mathbf{b}=(b_x,b_y), então
\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_x+b_x,\;a_y+b_y).
  • Cada componente do resultado é simplesmente a soma das componentes correspondentes dos vetores originais. Isso corresponde geometricamente a aplicar a regra do paralelogramo ou a regra “ponta–cauda”.
Agora aplico a fórmula aos vetores dados:
u+v=(u_x+v_x,\;u_y+v_y)=(0+1,\;1+0).
Faço as somas:
0+1=1,\qquad 1+0=1.
Portanto
u+v=(1,1).

Passo 4

Como representar graficamente u, v e u+v (passo a passo para desenhar na folha — faça assim na prova).
  1. Marca um sistema de eixos cartesianos com origem O=(0,0).
  2. Desenhe o vetor u=(0,1):
    • Parta da origem O e vá até o ponto (0,1). É uma seta vertical para cima de comprimento 1.
  3. Desenhe o vetor v=(1,0):
    • Parta da origem O e vá até o ponto (1,0). É uma seta horizontal para a direita de comprimento 1.
  4. Representar u+v=(1,1):
    • Ponto final será (1,1). Desenhe a seta de O até (1,1); essa é a soma.
    • Alternativa pelo método ponta–cauda: coloque a cauda de v na ponta de u (ou vice-versa). Ou seja, a partir da ponta de u em (0,1) desenhe um segmento igual a v indo para a direita até (1,1). A seta que vai da origem O até (1,1) é u+v.
    • Alternativa pelo paralelogramo: a partir de O desenhe u e v; complete o paralelogramo e a diagonal que sai de O é u+v.
  5. Coordenadas úteis para marcar no desenho: O=(0,0), ponta de u=(0,1), ponta de v=(1,0), ponta de u+v=(1,1).
Dica visual: u aponta para cima, v para a direita, e u+v aponta para a diagonal nordeste até (1,1). Isso confirma que a soma combinou o deslocamento vertical de u com o deslocamento horizontal de v.

Passo 5

Regra de multiplicação de vetor por escalar (fórmula e explicação).
  • Se \mathbf{a}=(a_x,a_y) e c é um número real, então o produto escalar (multiplicação por escalar) é
c\,\mathbf{a}=(c\,a_x,\;c\,a_y).
  • Geometricamente:
    • O módulo (comprimento) do vetor é multiplicado por |c|.
    • O sentido (direção) do vetor é mantido se c>0 e é invertido se c<0.
    • Se |c|=1 o tamanho permanece igual (apenas possivelmente inverte se c=-1).
Agora aplico a fórmula com r=-1 e u=(0,1):
r\,u = (-1)\,(0,1)=((-1)\cdot 0,\;(-1)\cdot 1).
Faço as multiplicações:
(-1)\cdot 0 = 0,\qquad (-1)\cdot 1 = -1.
Portanto
r\,u=(0,-1).

Passo 6

Interpretação geométrica de r\,u=(0,-1) (como desenhar e o que acontece).
  • Comece com u=(0,1): era uma seta para cima de comprimento 1.
  • Multiplicar por r=-1 inverte a direção e preserva o comprimento, porque |-1|=1.
  • Logo r\,u=(0,-1) é uma seta apontando para baixo, de ponta em (0,-1) e de mesma distância da origem que u.
  • No desenho: marque o ponto (0,-1) e desenhe a seta de O até (0,-1).

Passo 7

Verificação por norma (cheque rápido, útil na prova para confirmar erros).
  • Norma de u:
\|u\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1.
  • Norma de v:
\|v\|=\sqrt{1^2+0^2}=1.
  • Norma de u+v=(1,1):
\|u+v\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  • Norma de r\,u:
\|r\,u\|=|r|\,\|u\|=|-1|\cdot 1=1,
o que coincide com a norma calculada diretamente para (0,-1):
\sqrt{0^2+(-1)^2}=\sqrt{1}=1.
Tudo consistente: soma e multiplicação estão corretas.

Resposta

u+v=(1,1)
r\,u=(0,-1)

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