Calcule \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-\operatorname{arccos} ^{2}(0,1)\right)^{n}}{(2 n)!}, sabendo que
\text { (I) } \cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-\operatorname{arccos}^{2}(0,1)\right)^{n}}{(2 n)!}.
Informações dadas relevantes:
\text{(I) } \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}.
Também temos o valor presente no argumento da função arco cosseno escrito como (0,1), que aqui corresponde ao número 0,1 (ou seja, a vírgula é separador decimal: 0,1=0{,}1).

Passo 2

Vamos reescrever a série original de forma a compará-la com a série dada em (I). Defina
a=\operatorname{arccos}(0,1).
Então \operatorname{arccos}^{2}(0,1) significa a^{2}. A série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a^{2})^{n}}{(2n)!}.

Passo 3

Observe a propriedade de potências que vamos usar: para qualquer número a e inteiro n\ge0,
(-a^{2})^{n}=(-1)^{n}(a^{2})^{n}=(-1)^{n}a^{2n}.
Substituindo isso na série do passo anterior obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a^{2})^{n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}a^{2n}}{(2n)!}.

Passo 4

Compare agora com a série dada em (I):
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.
Se escolhermos x=a=\operatorname{arccos}(0,1), então x^{2n}=a^{2n} e as duas séries coincidem termo a termo. Portanto
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}a^{2n}}{(2n)!}=\cos(a).

Passo 5

Juntando os passos acima temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-\operatorname{arccos}^{2}(0,1)\right)^{n}}{(2n)!}=\cos\big(\operatorname{arccos}(0,1)\big).

Passo 6

Usamos a identidade inversa entre cosseno e arco-cosseno: para todo y\in[-1,1],
\cos\big(\operatorname{arccos}(y)\big)=y.
Aqui y=0,1 pertence a [-1,1], portanto
\cos\big(\operatorname{arccos}(0,1)\big)=0,1.

Resposta

\,0,1

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