Escreva 1, \overline{4} como uma fração.

Passo 1

O enunciado pede para escrever 1,\overline{4} como uma fração. As informações importantes são:
  • 1,\overline{4} significa o número decimal 1,4444\ldots, ou seja, o algarismo 4 se repete infinitamente após a vírgula.
  • Queremos encontrar uma fração \dfrac{p}{q} (com inteiros p,q) igual a esse decimal periódico.

Passo 2

Vamos usar o método algébrico clássico para decimais periódicos: definir uma variável para o número e eliminar a parte periódica por subtração após multiplicar por uma potência de 10. Isso funciona porque a repetição infinita se alinha quando multiplicamos por 10^n, com n sendo o comprimento do período.

Passo 3

Defina a variável:
x = 1,\overline{4} = 1,4444\ldots
Aqui x representa exatamente o número que queremos transformar em fração.

Passo 4

Identifique o comprimento do período. O período é apenas um dígito ( 4), então n=1. Multiplicamos x por 10^n=10 para deslocar a vírgula uma casa e alinhar as repetições:
10x = 14,\overline{4} = 14,4444\ldots

Passo 5

Subtraia a equação original da multiplicada para eliminar a parte repetida:
10x - x = 14,4444\ldots - 1,4444\ldots
O lado direito tem as infinitas casas decimais idênticas, que se cancelam, sobrando apenas:
9x = 13

Passo 6

Resolva para x:
x = \dfrac{13}{9}.
Verifique se a fração está em termos inteiros e irredutível: 13 e 9 não têm divisores comuns além de 1, então a fração está na forma irreduzível.

Passo 7

Pequena checagem intuitiva (para você confiar no resultado): escreva como número misto:
\dfrac{13}{9} = 1 + \dfrac{4}{9}.
E sabemos que \dfrac{1}{9}=0,\overline{1}, então \dfrac{4}{9}=0,\overline{4}. Assim \dfrac{13}{9}=1,4444\ldots, que confirma que é igual a 1,\overline{4}.

Resposta

\dfrac{13}{9}

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