Escreva
como uma fração.
Passo 1
O enunciado pede para escrever
como uma fração. As informações importantes são:
-
significa o número decimal , ou seja, o algarismo se repete infinitamente após a vírgula. - Queremos encontrar uma fração
(com inteiros ) igual a esse decimal periódico.
Passo 2
Vamos usar o método algébrico clássico para decimais periódicos: definir uma variável para o número e eliminar a parte periódica por subtração após multiplicar por uma potência de
. Isso funciona porque a repetição infinita se alinha quando multiplicamos por
, com
sendo o comprimento do período.
Passo 3
Defina a variável:
Aqui
representa exatamente o número que queremos transformar em fração.
Passo 4
Identifique o comprimento do período. O período é apenas um dígito (
), então
. Multiplicamos
por
para deslocar a vírgula uma casa e alinhar as repetições:
Passo 5
Subtraia a equação original da multiplicada para eliminar a parte repetida:
O lado direito tem as infinitas casas decimais idênticas, que se cancelam, sobrando apenas:
Passo 6
Resolva para
:
Verifique se a fração está em termos inteiros e irredutível:
e
não têm divisores comuns além de
, então a fração está na forma irreduzível.
Passo 7
Pequena checagem intuitiva (para você confiar no resultado): escreva como número misto:
E sabemos que
, então
. Assim
, que confirma que é igual a
.