Calcule a superlargura necessária a uma curva, sendo dados os parâmetros: largura do veículo: \mathrm{L}=2,50 \mathrm{~m}; distância entre eixos do veículo: \mathrm{E}=6,50 \mathrm{~m}; balanço dianteiro do veículo: \mathrm{F}=1,10 \mathrm{~m}; raio da curva: \mathrm{R}=280 \mathrm{~m}; velocidade diretriz: V=90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}; faixas de tráfego de (3,3 \mathrm{~m}(\mathrm{~L}_{\mathrm{B}}=6,6 \mathrm{~m})); número de faixas: 2 .
b) Qual a superlargura necessária caso fossem quatro faixas, em vez de duas?

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a superlargura necessária a uma curva” para um veículo com dados geométricos e para dois cenários (a) duas faixas e (b) quatro faixas. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
\begin{aligned} &\text{largura do veículo: } L = 2{,}50\\ \mathrm{m},\\\ &\text{distância entre eixos (entre eixos): } E = 6{,}50\\ \mathrm{m},\\\ &\text{balanço dianteiro (overhang): } F = 1{,}10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio da curva (raio da faixa mais interna, assumido): } R = 280\\ \mathrm{m},\\\ &\text{velocidade diretriz: } V = 90\\ \mathrm{km/h},\\\ &\text{largura da faixa: } 3{,}3\\ \mathrm{m}\\ (\text{logo }L_B = 6{,}6\\ \mathrm{m}\\ \text{para 2 faixas}),\\\ &\text{número de faixas (caso a): } 2,\quad\text{(caso b): } 4. \end{aligned}íâçú
Observações importantes (claras e necessárias antes de resolver):
  • O enunciado não explicita exatamente se R é o raio da pista interna, da linha de centro da pista, ou do bordo interno; vou assumir a interpretação prática usual: R é o raio da trajetória mais interna da pista (ou seja, a referência para a faixa mais interna).
  • Para curvas com várias faixas, a trajetória da faixa mais externa tem raio maior, aproximadamente R + (k-1)\cdot b, onde k é o índice da faixa (contando a partir da faixa mais interna) e b é a largura da faixa. Em estradas com tráfego no mesmo sentido, veículos grandes costumam ocupar faixas mais externas em curvas; por isso vou calcular a sobrelargura para a faixa mais externa (caso relevante).
  • Vou calcular a parte puramente geométrica da sobrelargura (o quanto a carroçaria “sai” lateralmente pela geometria do veículo ao seguir um arco), e acrescentar uma folga de segurança lateral pequena (valor técnico razoável) — explicarei e justificarei esse acréscimo na solução. A componente geométrica é independente da velocidade V; portanto V não entra no cálculo geométrico da sobrelargura (eu explico isso na teoria).

Passo 2

Conceito e fórmula geométrica (aulas rápidas e intuitivas).
Quando um veículo rígido com distância entre eixos E percorre um arco de círculo, os pontos correspondentes às rodas descrevem arcos, enquanto a carroceria entre os eixos pode ser vista como uma corda (chord) do arco. A diferença máxima entre a corda (reta) e o arco (curva) — a chamada sagita — mede quanto a carroceria “ficará para dentro” em relação à trajetória das rodas; esse valor produz o efeito visível de “encolhimento” ou “afastamento” lateral da carroceria (off-tracking).
Geometricamente, se dois pontos estão sobre um círculo de raio R_{\text{faixa}} e separados por distância de eixo E, a meia-ângulo central correspondente é \theta tal que
\sin\theta = \frac{E}{2R_{\text{faixa}}}.
A sagita (metade do ressaltamento do arco) no ponto médio é
h = R_{\text{faixa}}\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Usando \cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-\bigl(\dfrac{E}{2R_{\text{faixa}}}\bigr)^2}, obtemos a fórmula fechada
\boxed{\,h = R_{\text{faixa}}\left(1-\sqrt{1-\left(\dfrac{E}{2R_{\text{faixa}}}\right)^2}\right)\,}
Para veículos curtos em curvas suaves (caso comum), podemos usar a aproximação de pequena-ângulo que dá
\boxed{\,h \approx \dfrac{E^2}{8R_{\text{faixa}}}\,}
Essa é uma aproximação muito usada (fácil de calcular) e dá praticamente o mesmo valor quando E/(2R) é pequeno (como aqui).
Além disso, existe contribuição do balanço dianteiro F (o canto dianteiro pode “bater” mais para fora). Uma estimativa conservadora para a contribuição do balanço é usar o mesmo fator angular (porque o ângulo entre eixos determina quanto o veículo “vira”), ou calcular exatamente com trigonometria. Para precisão suficiente em provas e projeto prático com esses valores, a contribuição geométrica do balanço é muito pequena. Mesmo assim, podemos avaliar a contribuição aproximada como
p \approx F\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde usamos o mesmo \theta definido acima. Portanto a contribuição geométrica total pela forma do veículo (off‑tracking + balanço) fica aproximada por
s_{\text{geom}} \approx h + p = \bigl(R_{\text{faixa}}+F\bigr)\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Como 1-\cos\theta é pequeno, podemos usar a aproximação com h e adicionar o termo pequeno do balanço.
Por fim, em projeto prático adiciona‑se uma folga lateral de segurança (folga para margem de erro, oscilações, vento, sobrelargura construtiva). Valores usuais em manuais são da ordem de 0{,}10 a 0{,}30\\ \mathrm{m}. Vou adotar uma folga de c=0{,}20\\ \mathrm{m} (valor técnico razoável, explico por que: está no meio da faixa recomendada e comumente usado como margem prática).
A superlargura necessária será então
\boxed{\,S = s_{\text{geom}} + c\,}
onde s_{\text{geom}} é calculado com a fórmula acima para o raio da faixa que o veículo ocupa.

Passo 3

Aplicando as fórmulas — definição do raio da faixa ocupada.
  • Largura da faixa b = 3{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Para o caso (a) com 2 faixas, a faixa mais externa (faixa 2) tem raio aproximado
R_2 = R + (2-1)\cdot b = 280 + 3{,}3 = 283{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Para o caso (b) com 4 faixas, a faixa mais externa (faixa 4) tem raio aproximado
R_4 = R + (4-1)\cdot b = 280 + 3\cdot 3{,}3 = 280 + 9{,}9 = 289{,}9\\ \mathrm{m}.
(Observação: estou calculando a sobrelargura para a faixa externa, que é a situação mais crítica para o “sair” lateral do veículo. Se o veículo estivesse na faixa interna, o raio seria menor e a geometria igual seria aplicada).

Passo 4

Cálculo numérico detalhado (caso a: duas faixas).
Primeiro calcule a razão
\frac{E}{2R_2}=\frac{6{,}50}{2\cdot 283{,}3}=\frac{6{,}50}{566{,}6}\approx 0{,}01147.
Calcule
\cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{E}{2R_2}\right)^2} \approx \sqrt{1-0{,}0001316}\approx 0{,}999934.
Logo a sagita
h = R_2(1-\cos\theta)\approx 283{,}3\cdot(1-0{,}999934)\approx 0{,}0187\\ \mathrm{m}.
Contribuição do balanço dianteiro (aproximação)
p \approx F(1-\cos\theta)\approx 1{,}10\cdot 0{,}000066\approx 0{,}00007\\ \mathrm{m}.
Portanto a componente geométrica total
s_{\text{geom}} \approx h + p \approx 0{,}0187 + 0{,}00007\approx 0{,}01877\\ \mathrm{m}.
Adicionando a folga c=0{,}20\\ \mathrm{m} obtemos
S_{2\text{ faixas}} = s_{\text{geom}} + c \approx 0{,}01877 + 0{,}20 \approx 0{,}2188\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais em metros (prática de obra/prova):
S_{2\text{ faixas}} \approx 0{,}22\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }22\\ \mathrm{cm}).
Comentário didático: repare que a parte geométrica é muito pequena (≈1,9 cm) porque o raio é grande e o veículo não é extremamente longo. A folga de segurança de 20 cm domina o resultado prático.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado (caso b: quatro faixas).
Agora use R_4 = 289{,}9\\ \mathrm{m}.
\frac{E}{2R_4}=\frac{6{,}50}{2\cdot 289{,}9}=\frac{6{,}50}{579{,}8}\approx 0{,}01121.
\cos\theta \approx \sqrt{1-0{,}0001257}\approx 0{,}999937.
h = R_4(1-\cos\theta)\approx 289{,}9\cdot(1-0{,}999937)\approx 0{,}0183\\ \mathrm{m}.
p \approx F(1-\cos\theta)\approx 1{,}10\cdot 0{,}000063\approx 0{,}00007\\ \mathrm{m}.
s_{\text{geom}}\approx h + p \approx 0{,}0183 + 0{,}00007 \approx 0{,}01837\\ \mathrm{m}.
Adicionando a folga c=0{,}20\\ \mathrm{m}:
S_{4\text{ faixas}} = s_{\text{geom}} + c \approx 0{,}01837 + 0{,}20 \approx 0{,}21837\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
S_{4\text{ faixas}} \approx 0{,}22\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }22\\ \mathrm{cm}).
Comentário didático: a diferença entre 2 faixas e 4 faixas é mínima porque a componente geométrica já era muito pequena e o acréscimo de raio para faixas externas reduz ainda mais um pouco essa componente — mas a folga de 0{,}20\\ \mathrm{m} continua dominando.

Passo 6

Breve recapitulação e justificativa das escolhas (ajuda para prova, palavra amiga).
  • Fórmula chave geométrica: \,h=R_{\text{faixa}}\left(1-\sqrt{1-\left(\dfrac{E}{2R_{\text{faixa}}}\right)^2}\right)\,. Em provas, você pode usar a aproximação rápida h\approx \dfrac{E^2}{8R_{\text{faixa}}} quando E/(2R) é pequeno — é muito comum em exercícios de rodovias.
  • O balanço dianteiro F tem contribuição muito pequena quando a curva é larga; você pode avaliá‑la por p\approx F(1-\cos\theta) e ver que, numericamente, é desprezível em muitos casos.
  • A velocidade V não entra no cálculo puramente geométrico de sobrelargura; ela aparece quando se calcula forças, superelevação necessária, etc. Para a sobrelargura geométrica, não precisamos da velocidade.
  • Em projeto real, acrescente sempre uma margem de segurança lateral (aqui escolhi 0{,}20\\ \mathrm{m}). Em provas, se não der folga sugerida, pergunte no enunciado; se não houver, justifique um valor padrão (0,10–0,30 m) e calcule como fiz acima.

Resposta

S_{2\\ \text{faixas}} \approx 0{,}22\\ \mathrm{m}
S_{4\\ \text{faixas}} \approx 0{,}22\\ \mathrm{m}

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