Calcule a superlargura necessária a uma curva, sendo dados os parâmetros: largura do veículo: \mathrm{L}=2,50 \mathrm{~m}; distância entre eixos do veículo: E=6,10 \mathrm{~m}; balanço dianteiro do veículo: F=1,20 \mathrm{~m}; raio da curva: R=200 \mathrm{~m}; velocidade diretriz: \mathrm{V}=80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}; faixas de tráfego de 3,6 \mathrm{~m}(\mathrm{LB}=7,2 \mathrm{~m}); número de faixas: 2 .
a) Qual a superlargura necessária caso fossem três faixas, em vez de duas?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo em forma matemática, como você pediu):
\begin{aligned} &\text{largura do veículo: } L=2{,}50\\ \mathrm{m}\\\ &\text{distância entre eixos: } E=6{,}10\\ \mathrm{m}\\\ &\text{balanço dianteiro: } F=1{,}20\\ \mathrm{m}\\\ &\text{raio da curva (referido à aresta interna): } R=200\\ \mathrm{m}\\\ &\text{velocidade diretriz: } V=80\\ \mathrm{km/h}\\\ &\text{largura da faixa: } 3{,}6\\ \mathrm{m}\\ (\text{logo, para 2 faixas }LB=7{,}2\\ \mathrm{m})\\\ &\text{número de faixas no enunciado original: }2\\\ &\text{(pergunta a): recalcular a superlargura caso fossem }3\text{ faixas.} \end{aligned}íâçàú

Passo 2

O que é “superlargura” aqui e que suposição vou usar (explicando de forma didática e clara)?
  • Superlargura, neste contexto, é a largura adicional necessária numa pista curva para acomodar o deslocamento lateral (off‑tracking / encurvamento) do corpo do veículo ao descrever a curva — ou seja, quanto extra de pavimento devemos prever para que a parte dianteira e traseira do veículo não “invadam” a faixa adjacente.
  • Suponho que:
    1. O raio R dado é o raio da aresta interna da pista (como é comum em projetos).
    2. A pista tem faixas de 3{,}6\\ \mathrm{m}; a posição do centro da faixa exterior (onde o veículo circularia) fica a uma distância do raio interno igual a: distância até o centro da primeira faixa =1{,}8\\ \mathrm{m}, e cada nova faixa soma 3{,}6\\ \mathrm{m}.
    3. O ponto que causa a maior necessidade de alargamento é o conjunto “comprimento entre eixos + balanço dianteiro”, que chamo de c, pois é esse comprimento que descreve uma corda da circunferência e gera a flecha (sagitta) que determina o alargamento necessário.
  • Essas são hipóteses padrão para calcular a superlargura quando não temos figura específica.

Passo 3

Definir a quantidade geométrica que vamos calcular (fórmula e ideia física):
  • Seja c a distância entre o ponto traseiro que traça a trajetória interna e o bordo dianteiro que “projeta” para fora durante a curva. Tomamos
c = E + F.
  • Se um arco de curva tem raio R_{\text{pista}} (o raio da trajetória considerada para o veículo), a flecha (sagitta) s produzida por uma corda de comprimento c é dada exatamente por
s = R_{\text{pista}} - \sqrt{R_{\text{pista}}^{2} - \frac{c^{2}}{4}}.
Explicando essa fórmula de forma didática:
  • Em uma circunferência de raio R_{\text{pista}}, uma corda de comprimento c fica a uma distância do centro igual a \sqrt{R_{\text{pista}}^{2} - \frac{c^{2}}{4}}. A diferença entre o raio e essa distância é a flecha s: é quanto a curva “projeta” para fora em relação à corda. Essa flecha é justamente a largura adicional necessária por causa do comprimento do veículo (quando ele acompanha a curva).
  • Para curvas suaves (quando c\ll R_{\text{pista}}) podemos usar a aproximação (expansão em série)
s \approx \frac{c^{2}}{8\,R_{\text{pista}}},
que fica muito prática para cálculos de prova e dá quase o mesmo valor quando R_{\text{pista}} é grande.

Passo 4

Calcular os parâmetros numéricos que precisamos para o caso de 3 faixas:
  • Primeiro calcule c:
c = E + F = 6{,}10 + 1{,}20 = 7{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Agora determinar o raio efetivo R_{\text{pista}} onde o veículo circula quando há 3 faixas.
    • A distância do bordo interno até o centro da primeira faixa é 1{,}8\\ \mathrm{m}.
    • Para 3 faixas, o centro da faixa exterior (terceira faixa) está a
    \text{offset} = 1{,}8 + 2\cdot 3{,}6 = 1{,}8 + 7{,}2 = 8{,}1\\ \mathrm{m}a partir da aresta interna.
    • Assim, o raio efetivo da trajetória do veículo será
    R_{\text{pista}} = R + \text{offset} = 200 + 8{,}1 = 208{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Aplicar a fórmula (usar a aproximação válida porque c é pequeno frente a R_{\text{pista}}):
  • Usando a aproximação
s \approx \frac{c^{2}}{8\,R_{\text{pista}}},
substituímos os valores:
c^{2} = 7{,}30^{2} = 53{,}29\quad(\mathrm{m}^{2}),
8\,R_{\text{pista}} = 8 \times 208{,}1 = 1\,664{,}8\quad(\mathrm{m}).
Logo
s \approx \frac{53{,}29}{1\,664{,}8} \\ \mathrm{m}.

Passo 6

Fazer a divisão e obter o resultado numérico (mostrando a conta):
s \approx \frac{53{,}29}{1\,664{,}8} \approx 0{,}0320\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares, isso é cerca de 3{,}20\\ \mathrm{cm}.
Observação didática e motivadora: deu um valor pequeno porque a curva tem raio grande ( 200\\ \mathrm{m}) — curvas suaves exigem pouca superlargura. A velocidade V foi informada, mas para este cálculo geométrico de off‑tracking (superlargura por comprimento do veículo) a velocidade não entra diretamente; a velocidade é usada quando se calcula superelevação (inclinação transversal) ou raio mínimo admissível, mas aqui trabalhamos apenas a geometria do deslocamento lateral do veículo ao contornar a curva.

Resposta

s \approx 0{,}032\\ \mathrm{m} (aprox. 3{,}2\\ \mathrm{cm}).

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