Calcule r e s in Z tais que M.D.C. a, b=r a+s b nos seguintes casos:
a=21 ; b=35.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar inteiros r e s tais que
gcd(a,b)=r,a + s,b
no caso a=21 e b=35. Vamos usar o algoritmo de Euclides para achar gcd(21,35) e depois fazer a retro-substituição (algoritmo estendido) para expressá-lo como combinação linear de 21 e 35.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para 35 e 21:
35 = 1cdot 21 + 14,
21 = 1cdot 14 + 7,
14 = 2cdot 7 + 0
Como o resto anula em 14 = 2cdot7 + 0, temos
gcd(21,35) = 7

Passo 3

Agora fazemos a retro-substituição para escrever 7 em função de 21 e 35. Da segunda linha do algoritmo:
7 = 21 - 1cdot 14

Passo 4

Substituímos 14 pela expressão obtida na primeira linha:
14 = 35 - 1cdot 21
Logo,
7 = 21 - 1cdot(35 - 1cdot 21) = 21 - 1cdot 35 + 1cdot 21 = 2cdot 21 ;-;1cdot 35
Isso mostra a combinação linear desejada.

Resposta

Uma escolha válida é
r = 2, s = -1,
pois
gcd(21,35)=7=2cdot 21 + (-1)cdot 35

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