Questão 2.
Considere os seguintes subespaços vetoriais de
e
e
(1,0 pontos cada item)
(a) Determine uma base de
e uma base de
;
(b) Determine uma base para o subespaço
(c) Verifique se
Considere os seguintes subespaços vetoriais de
(1,0 pontos cada item)
(a) Determine uma base de
(b) Determine uma base para o subespaço
(c) Verifique se
Passo 1
O enunciado nos dá dois subespaços de
definidos por equações lineares e pede:
– (a) uma base de e uma base de
;
– (b) uma base de ;
– (c) verificar se .
O conteúdo envolvido é resolução de sistemas lineares, cálculo de dimensão e teste de soma direta.
– (a) uma base de
– (b) uma base de
– (c) verificar se
O conteúdo envolvido é resolução de sistemas lineares, cálculo de dimensão e teste de soma direta.
Passo 2
Para achar uma base de
Da primeira equação vem . Logo um vetor genérico de
é
Como
é livre,
é de dimensão 1 e uma base é
Passo 3
Para achar uma base de
, resolvemos
Tomamos
e
como parâmetros livres. Escrevemos
Como há dois graus de liberdade,
e uma base é
Passo 4
Para
, considere um vetor genérico de
,
. Ele pertence a
se
o que vale para todo
. Logo
, de onde
e uma base de
é a mesma de
,
.
Passo 5
Para verificar se
, precisamos de duas condições:
-
. Mas como , temos que é de dimensão 2, não igual a 3. -
. Porém não é trivial.
Logo não ocorre soma direta.
Resposta
(a) Uma base de
é
.
Uma base de é
.
Uma base de
(b) Uma base de
é
.
(c) Não. Como
, a soma não atinge todo
e a interseção não é apenas
, logo
.