Questão 2.
Considere os seguintes subespaços vetoriais de R^3
W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0 e 4 x-z=0 e W2=(x, y, z) in R^3 mid 3 x-y-z=0
(1,0 pontos cada item)
(a) Determine uma base de W1 e uma base de W2;
(b) Determine uma base para o subespaço W1 cap W2
(c) Verifique se R^3=W1 oplus W2

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços de R^3 definidos por equações lineares e pede:
– (a) uma base de W1 e uma base de W2;
– (b) uma base de W1cap W2;
– (c) verificar se R^3=W1oplus W2.
O conteúdo envolvido é resolução de sistemas lineares, cálculo de dimensão e teste de soma direta.

Passo 2

Para achar uma base de
Da primeira equação vem . Logo um vetor genérico de é
Como é livre, é de dimensão 1 e uma base é

Passo 3

Para achar uma base de W2, resolvemos
3x-y-z=0Longrightarrow y=3x-z
Tomamos x e z como parâmetros livres. Escrevemos
(x,y,z)=(x,,3x-z,,z) =x,(1,3,0)+z,(0,-1,1)
Como há dois graus de liberdade, dim W2=2 e uma base é
(1,3,0),,(0,-1,1)

Passo 4

Para W1cap W2, considere um vetor genérico de W1, (t,-t,4t). Ele pertence a W2 se
3t-(-t)-4t=3t+t-4t=0,
o que vale para todo t. Logo W1subset W2, de onde
W1cap W2=W1
e uma base de W1cap W2 é a mesma de W1,
(1,-1,4).

Passo 5

Para verificar se R^3=W1oplus W2, precisamos de duas condições:
  1. W1+W2=R^3. Mas como W1subset W2, temos W1+W2=W2 que é de dimensão 2, não igual a 3.
  2. W1cap W2=0. Porém W1cap W2=W1 não é trivial.
    Logo não ocorre soma direta.

Resposta

(a) Uma base de W1 é (1,-1,4).
Uma base de W2 é (1,3,0),,(0,-1,1).
(b) Uma base de W1cap W2 é (1,-1,4).
(c) Não. Como W1subset W2, a soma não atinge todo R^3 e a interseção não é apenas 0, logo R^3neq W1oplus W2.

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