Calcule o tamanho da arresta da célula unitária de CsBr , sabendo que:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: calcular o tamanho da aresta da célula unitária de CsBr (ou seja, determinar
, comprimento da aresta). - Dados fornecidos:
- Massa molar do Cs:
. - Massa molar do Br:
. - raio iônico do cátion:
. - raio iônico do ânion:
.
- Massa molar do Cs:
(O enunciado dá massas molares, mas aqui os raios iônicos já foram fornecidos — usaremos esses raios para obter a aresta.)
Passo 2
Escolha do tipo de estrutura cristalina (informação necessária para relacionar raios com a aresta)
- Quando só se pede a aresta e são dados os raios iônicos, usa-se a regra da razão de raios para inferir o tipo de empacotamento (coordenação).
- Calcular a razão
: - Interpretação da razão (regra de Hume-Rothery simplificada):
- Se a razão
-> coordenação baixa (4, estrutura tipo tetraédrica). - Se
-> coordenação 6 (tipo NaCl, octaédrica). - Se a razão
-> coordenação 8 (tipo CsCl, cúbica simples com átomo no centro do cubo).
- Se a razão
- Como
, o composto tende a adotar a estrutura tipo CsCl (coordenação 8). Portanto vamos usar a geometria da célula cúbica do tipo CsCl.
(Resumo prático: escolhi a estrutura CsCl porque a razão dos raios indica coordenação 8.)
Passo 3
Geometria da estrutura tipo CsCl e relação entre a aresta
e os raios iônicos
- Na estrutura tipo CsCl, um íon (por exemplo Cs
) fica no centro do cubo e os íons Br ficam nos oito vértices do cubo. O par de vizinhos mais próximo é centro–vértice. - A distância do centro do cubo a um vértice vale metade da diagonal do cubo. A diagonal espacial (diagonal do cubo) tem comprimento
. Logo, a distância centro–vértice é - Essa distância corresponde à soma dos raios do cátion e do ânion (assumindo contato íon–íon):
- Isolando
, obtemos a fórmula que usaremos:
Passo 4
Substituir os valores e calcular passo a passo
- Primeiro calcular a soma dos raios:
- Aplicar a fórmula:
- Usando
: - Arredondando de modo coerente com os dados (3 algarismos significativos nos raios), fica
- Em angstroms (lembrando que
):
Passo 5
Verificação rápida e comentário final (motivação didática)
- A verificação qualitativa é que a razão de raios indicou estrutura CsCl, e a fórmula geométrica usada é a correta para esse tipo (distância centro–vértice = soma dos raios).
- Se alguém pedisse, também seria possível estimar
a partir da densidade e massas molares, mas isso exigiria conhecer a densidade cristalina experimental. Como os raios foram fornecidos, o método geométrico direto é o mais simples e rápido para uma prova.