Calcule o tamanho da arresta da célula unitária de CsBr , sabendo que: \mathrm{Cs}=132,9 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \mathrm{Br}=79,90 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \mathrm{r}_{\mathrm{CS}+}=0,170 \mathrm{~nm} ; \mathrm{r}_{\mathrm{Br}}=0,196 \mathrm{~nm}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: calcular o tamanho da aresta da célula unitária de CsBr (ou seja, determinar a, comprimento da aresta).
  • Dados fornecidos:
    • Massa molar do Cs: \mathrm{Cs}=132,9\\ \mathrm{g/mol}.
    • Massa molar do Br: \mathrm{Br}=79,90\\ \mathrm{g/mol}.
    • raio iônico do cátion: r_{\mathrm{Cs}^+}=0,170\\ \mathrm{nm}.
    • raio iônico do ânion: r_{\mathrm{Br}^-}=0,196\\ \mathrm{nm}.
(O enunciado dá massas molares, mas aqui os raios iônicos já foram fornecidos — usaremos esses raios para obter a aresta.)

Passo 2

Escolha do tipo de estrutura cristalina (informação necessária para relacionar raios com a aresta)
  • Quando só se pede a aresta e são dados os raios iônicos, usa-se a regra da razão de raios para inferir o tipo de empacotamento (coordenação).
  • Calcular a razão \dfrac{r_{\mathrm{Cs}^+}}{r_{\mathrm{Br}^-}}: \frac{r_{\mathrm{Cs}^+}}{r_{\mathrm{Br}^-}}=\frac{0,170}{0,196}\approx0,867.
  • Interpretação da razão (regra de Hume-Rothery simplificada):
    • Se a razão <0,414 -> coordenação baixa (4, estrutura tipo tetraédrica).
    • Se 0,414\le \text{razão}\le0,732ã -> coordenação 6 (tipo NaCl, octaédrica).
    • Se a razão >0,732 -> coordenação 8 (tipo CsCl, cúbica simples com átomo no centro do cubo).
  • Como 0,867>0,732, o composto tende a adotar a estrutura tipo CsCl (coordenação 8). Portanto vamos usar a geometria da célula cúbica do tipo CsCl.
(Resumo prático: escolhi a estrutura CsCl porque a razão dos raios indica coordenação 8.)

Passo 3

Geometria da estrutura tipo CsCl e relação entre a aresta a e os raios iônicos
  • Na estrutura tipo CsCl, um íon (por exemplo Cs ^+) fica no centro do cubo e os íons Br ^- ficam nos oito vértices do cubo. O par de vizinhos mais próximo é centro–vértice.
  • A distância do centro do cubo a um vértice vale metade da diagonal do cubo. A diagonal espacial (diagonal do cubo) tem comprimento \sqrt{3}\,a. Logo, a distância centro–vértice é \frac{\sqrt{3}\,a}{2}.
  • Essa distância corresponde à soma dos raios do cátion e do ânion (assumindo contato íon–íon): \frac{\sqrt{3}\,a}{2}=r_{\mathrm{Cs}^+}+r_{\mathrm{Br}^-}.
  • Isolando a, obtemos a fórmula que usaremos: a=\frac{2\bigl(r_{\mathrm{Cs}^+}+r_{\mathrm{Br}^-}\bigr)}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Substituir os valores e calcular passo a passo
  • Primeiro calcular a soma dos raios: r_{\mathrm{Cs}^+}+r_{\mathrm{Br}^-}=0,170+0,196=0,366\\ \mathrm{nm}.
  • Aplicar a fórmula: a=\frac{2\cdot 0,366}{\sqrt{3}}=\frac{0,732}{\sqrt{3}}.
  • Usando \sqrt{3}\approx1,73205: a\approx\frac{0,732}{1,73205}\approx0,4227\\ \mathrm{nm}.
  • Arredondando de modo coerente com os dados (3 algarismos significativos nos raios), fica a\approx0,423\\ \mathrm{nm}.
  • Em angstroms (lembrando que 1\\ \text{\AA}=0,1\\ \mathrm{nm}): a\approx4,23\\ \text{\AA}.

Passo 5

Verificação rápida e comentário final (motivação didática)
  • A verificação qualitativa é que a razão de raios indicou estrutura CsCl, e a fórmula geométrica usada é a correta para esse tipo (distância centro–vértice = soma dos raios).
  • Se alguém pedisse, também seria possível estimar a a partir da densidade e massas molares, mas isso exigiria conhecer a densidade cristalina experimental. Como os raios foram fornecidos, o método geométrico direto é o mais simples e rápido para uma prova.

Resposta

a=0,423\\ \mathrm{nm}=4,23\\ \text{\AA}

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