Em um sistema de abastecimento de água, será construída uma adutora conectando dois reservatórios, com extensão de 6000 metros, cujo nível d’água é mantido constante em cotas de 100 m e 49,6 \mathrm{~m}. Dimensione a adutora, sabendo-se que a vazão de projeto é de 30 \mathrm{l} / \mathrm{s} e ela será confeccionada em PVC ( \mathrm{C}=140 ).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (listando tudo claramente):
  • Dois reservatórios com cotas mantidas constantes: cota montante =100\\ \mathrm{m} e cota jusante =49{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da adutora: L=6000\\ \mathrm{m}.
  • Vazão de projeto: Q=30\\ \mathrm{L/s}=0{,}03\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Tubulação em PVC com coeficiente de Hazen–Williams C=140.
  • Objetivo: dimensionar (achar o diâmetro) da adutora.
    Pergunta implícita: encontrar o diâmetro que faz as perdas de carga ao longo da adutora igualarem a diferença de cotas disponível.
Informação que vou usar (não é pedida, mas é essencial): a queda disponível de carga entre os reservatórios é a diferença de cota:
H = 100 - 49{,}6 = 50{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (de forma simples e direta)
  • Como a tubulação é de água e o material é PVC com coeficiente C fornecido, o método padrão na hidráulica de redes é a fórmula de Hazen–Williams para perdas por atrito em condutos cheios. É simples, amplamente usada em projetos de água potável e evita necessidade de propriedades de viscosidade para água à temperatura ambiente.
  • A equação que relaciona perda de carga linear h_f, vazão Q, comprimento L, diâmetro D e coeficiente C é (forma habitual em SI):
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}},
onde
  • h_f é perda de carga (m),
  • L é comprimento da tubulação (m),
  • Q é vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno (m).
Explicando a fórmula em linguagem de amigo: quanto maior Q ou L, maior a perda; quanto maior D ou C, menor a perda. Os expoentes não são “mágicos”: vêm de ajustes empíricos aos dados de escoamento em tubos.

Passo 3

Equacionar usando a queda disponível e isolar D
Para que o escoamento entre reservatórios seja estabelecido sem bombas, toda a perda de carga ao longo da adutora deve ser menor ou igual à queda H. No projeto clássico a gente iguala h_f = H (usar a queda toda). Então:
H = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}}.
Isolando D^{4{,}8704}:
D^{4{,}8704} = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,H}.
Tomando potência inversa para obter D:
D = \left(10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,H}\right)^{\tfrac{1}{4{,}8704}}.
Vou agora calcular cada termo numérico com cuidado (mostrando os passos aritméticos) para obter D.

Passo 4

Cálculos numéricos passo a passo
Dados numéricos novamente: L=6000, Q=0{,}03, C=140, H=50{,}4.
  1. Calcular Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = (0{,}03)^{1{,}852}\approx 0{,}001519.
(isto vem de aplicar logaritmo ou calculadora: (0{,}03)^{1{,}852}.)
  1. Calcular C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = 140^{1{,}852}\approx 9{,}439.
  1. Calcular o numerador 10{,}67\,L\,Q^{1{,}852}:
10{,}67\times 6000\times 0{,}001519 \approx 97{,}29.
  1. Calcular o denominador C^{1{,}852}\,H:
9{,}439\times 50{,}4 \approx 475{,}21\quad(\text{note as unidades: m multiplicadas por adim.}).
  1. Formar a razão e elevar à potência inversa:
D^{4{,}8704} \approx \frac{97{,}29}{475{,}21}\approx 0{,}0002047.
D \approx \left(0{,}0002047\right)^{\tfrac{1}{4{,}8704}}\approx 0{,}175\\ \mathrm{m}.
Portanto o diâmetro calculado (teórico) é aproximadamente 0{,}175\\ \mathrm{m}, ou seja 175\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpretação prática e escolha comercial do diâmetro
  • Tubos vêm em diâmetros comerciais normalizados (ex.: 150\\ \mathrm{mm}, 200\\ \mathrm{mm}, …). O valor calculado 175\\ \mathrm{mm} não é um diâmetro comercial típico.
  • Para segurança (perdas menores que a queda disponível, velocidade adequada e margem para perdas locais), escolhe-se o próximo diâmetro comercial superior: D=200\\ \mathrm{mm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificações importantes (velocidade e perda de carga no diâmetro escolhido)
  1. Área interna e velocidade para D=0{,}175\\ \mathrm{m} (o valor calculado):
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}175)^{2}}{4}\approx 0{,}02405\\ \mathrm{m^{2}},
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}03}{0{,}02405}\approx 1{,}25\\ \mathrm{m/s}.
  1. Para o diâmetro comercial adotado D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0{,}20)^{2}}{4} = \pi\times 0{,}01 \approx 0{,}031416\\ \mathrm{m^{2}},
v = \frac{0{,}03}{0{,}031416}\approx 0{,}955\\ \mathrm{m/s}.
Comentários: velocidades entre cerca de 0{,}5 e 2{,}0\\ \mathrm{m/s} são comuns e aceitáveis em adutoras de água potável; então v\approx 0{,}95\\ \mathrm{m/s} é bom (boa eficiência, pouco assoreamento por baixa velocidade).
  1. Calcular a perda de carga real para D=0{,}20\\ \mathrm{m} (checagem):
Usando a fórmula de Hazen–Williams novamente:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}}.
Já tínhamos 10{,}67\,L\,Q^{1{,}852}\approx 97{,}29 e C^{1{,}852}\approx 9{,}439.
Calcular D^{4{,}8704} para D=0{,}20:
D^{4{,}8704} = (0{,}20)^{4{,}8704}\approx 3{,}967\times 10^{-4}.
\text{Denominador total} = 9{,}439\times 3{,}967\times 10^{-4}\approx 3{,}742.
h_f \approx \frac{97{,}29}{3{,}742}\approx 25{,}99\\ \mathrm{m}.
Comparação: a queda disponível é H=50{,}4\\ \mathrm{m}, então com D=0{,}20\\ \mathrm{m} a perda ao longo da adutora fica em torno de 26\\ \mathrm{m}, bem menor que H. Isso significa que a tubulação de 200\\ \mathrm{mm} funciona com folga — sobrará carga (margem) para perdas locais, válvulas, ou permitir operar com menor velocidade/menos perda.

Passo 7

Resumo técnico e recomendação prática (tipo de resposta que entra no projeto)
  • Diâmetro teórico calculado para aproveitar a queda inteira: D\approx 0{,}175\\ \mathrm{m} (175 mm).
  • Recomenda-se adotar o diâmetro comercial superior D=0{,}20\\ \mathrm{m} (200 mm) em PVC, por oferecer margens de segurança e boas velocidades.
  • Velocidade resultante com D=0{,}20\\ \mathrm{m}: v\approx 0{,}96\\ \mathrm{m/s}.
  • Perda de carga ao longo da adutora com D=0{,}20\\ \mathrm{m}: h_f\approx 26{,}0\\ \mathrm{m} (menor que a queda disponível 50{,}4\\ \mathrm{m}).
Um comentário final amigo: se no projeto for necessário que a perda ocupasse exatamente uma parcela da queda (p.ex. reservar parte da queda para instalações a jusante), ajusta-se a fórmula com h_f igual à parcela disponível e repete-se o cálculo para encontrar outro diâmetro. Aqui eu igualei h_f=H para achar o diâmetro “teórico” e depois propus o diâmetro comercial.

Resposta

Diâmetro calculado (teórico): 0{,}175\\ \mathrm{m} (175 mm)
Diâmetro comercial recomendado (adotar): 0{,}20\\ \mathrm{m} (200 mm)

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