1. Calcule a taxa de variação de f(x, y)=e^{x} \cos y no ponto (0, \pi / 4) em direção ao ponto (2, \pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a taxa de variação de f(x,y)=e^{x}\cos y no ponto (0,\pi/4) na direção do ponto (2,\pi/2).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{x}\cos y.
  • O ponto onde avaliamos é P=(0,\pi/4).
  • A direção é dada pelo ponto alvo Q=(2,\pi/2). Logo a direção é a direção do vetor que vai de P a Q.
O que precisamos obter: a derivada direcional de f em P na direção de Q.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • A taxa de variação de f em um ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} chama-se derivada direcional e é dada por
D_{\mathbf{u}} f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Isto significa: calcule o vetor gradiente \nabla f em P (que aponta para a direção de máximo crescimento de f e cujas componentes são as derivadas parciais), e faça o produto escalar com o vetor unitário \mathbf{u} que indica a direção desejada. O produto escalar mede quanto do gradiente está na direção \mathbf{u}.
  • O gradiente é definido por
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo, e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada em relação a y mantendo x fixo.
  • Se a direção é dada por dois pontos P e Q, primeiro construímos o vetor direção
\mathbf{v}=Q-P,
depois normalizamos para obter o vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},
onde \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}} é o comprimento (norma) de \mathbf{v}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x}\cos y.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cos y,
pois \cos y é constante quando derivamos em relação a x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{d}{dy}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cdot(-\sin y)=-e^{x}\sin y,
pois e^{x} é constante quando derivamos em relação a y.
Portanto o gradiente é
\boxed{\nabla f(x,y)=\big(e^{x}\cos y,\; -e^{x}\sin y\big).}

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(0,\pi/4).
Substituindo x=0 e y=\pi/4:
\nabla f(0,\pi/4)=\big(e^{0}\cos(\pi/4),\; -e^{0}\sin(\pi/4)\big).
Como e^{0}=1, \cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
\boxed{\nabla f(0,\pi/4)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).}

Passo 5

Determinar o vetor direção \mathbf{v} que vai de P a Q e sua norma.
O vetor
\mathbf{v}=Q-P=(2-0,\;\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4})=(2,\;\tfrac{\pi}{4}).
A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+\big(\tfrac{\pi}{4}\big)^{2}}=\sqrt{4+\tfrac{\pi^{2}}{16}}.

Passo 6

Construir o vetor unitário na direção de \mathbf{v}:
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{4+\tfrac{\pi^{2}}{16}}},\;\frac{\tfrac{\pi}{4}}{\sqrt{4+\tfrac{\pi^{2}}{16}}}\right).

Passo 7

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(0,\pi/4)\cdot\mathbf{u}.
Primeiro o produto escalar sem o denominador comum:
\nabla f(0,\pi/4)\cdot \mathbf{v} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{\pi}{4}.
Calcule cada termo:
\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2=\sqrt{2}, \qquad \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi\sqrt{2}}{8}.
Somando:
\nabla f(0,\pi/4)\cdot \mathbf{v}=\sqrt{2}-\frac{\pi\sqrt{2}}{8}=\sqrt{2}\Big(1-\frac{\pi}{8}\Big).
Agora dividimos pela norma \|\mathbf{v}\| para obter o produto com o vetor unitário:
D_{\mathbf{u}} f(0,\pi/4) = \frac{\sqrt{2}\Big(1-\dfrac{\pi}{8}\Big)}{\sqrt{4+\dfrac{\pi^{2}}{16}}}.
Podemos reescrever a expressão de forma alternativa (multiplicando numerador e denominador por 4):
D_{\mathbf{u}} f(0,\pi/4) = \frac{4\sqrt{2}\Big(1-\dfrac{\pi}{8}\Big)}{\sqrt{64+\pi^{2}}} = \frac{\sqrt{2}\,\big(4-\dfrac{\pi}{2}\big)}{\sqrt{64+\pi^{2}}}.
Também é útil um valor numérico aproximado para intuição. Calculando numericamente:
D_{\mathbf{u}} f(0,\pi/4)\approx 0{,}3995\quad(\text{aproximado}).

Resposta

D_{\mathbf{u}} f(0,\tfrac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}\Big(1-\dfrac{\pi}{8}\Big)}{\sqrt{4+\dfrac{\pi^{2}}{16}}}
\approx 0{,}3995

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