Calcule a taxa de variação de f(x, y)=e^{x} \cos y no ponto (0, \pi / 4) em direção ao ponto (2, \pi / 2).
Passo 1
O enunciado pede: calcular a taxa de variação de f(x,y)=e^{x}\cos y no ponto (0,\pi/4) na direção do ponto (2,\pi/2).
Informações dadas:
A função é f(x,y)=e^{x}\cos y.
O ponto onde avaliamos é P=(0,\pi/4).
A direção é dada pelo ponto alvo Q=(2,\pi/2). Logo a direção é a direção do vetor que vai de P a Q.
O que precisamos obter: a derivada direcional de f em P na direção de Q.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática):
A taxa de variação de f em um ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} chama-se derivada direcional e é dada por
D_{\mathbf{u}} f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Isto significa: calcule o vetor gradiente \nabla f em P (que aponta para a direção de máximo crescimento de f e cujas componentes são as derivadas parciais), e faça o produto escalar com o vetor unitário \mathbf{u} que indica a direção desejada. O produto escalar mede quanto do gradiente está na direção \mathbf{u}.
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo, e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada em relação a y mantendo x fixo.
Se a direção é dada por dois pontos P e Q, primeiro construímos o vetor direção
\mathbf{v}=Q-P,
depois normalizamos para obter o vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},
onde \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}} é o comprimento (norma) de \mathbf{v}.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x}\cos y.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cos y,
pois \cos y é constante quando derivamos em relação a x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{d}{dy}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cdot(-\sin y)=-e^{x}\sin y,
pois e^{x} é constante quando derivamos em relação a y.