1. Determine D_{u} f(1,2) para f(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 na direção de v=\langle 1,1\rangle.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y)=3x^{2}-y^{2}+4.
  • O ponto onde queremos o derivada direcional: (1,2).
  • O vetor direção v=\langle 1,1\rangle.
O que é pedido:
  • Calcular D_{u}f(1,2), ou seja, a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor v. Note que a derivada direcional usa o vetor unitário na direção dada; portanto é necessário normalizar v antes de aplicar a fórmula.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (explicação didática): a derivada direcional em direção ao vetor unitário u mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir do ponto no sentido de u. Uma forma prática e usual de calcular é usando o gradiente:
D_{u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u,
onde \nabla f(x,y) é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de f, isto é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right),
e u deve ser um vetor unitário ( |u|=1). Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada a um caminho parametrizado na direção u.

Passo 3

Calcular o vetor unitário u na direção de v=\langle 1,1\rangle.
Primeiro o comprimento de v:
\lVert v\rVert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Logo o vetor unitário é
u=\frac{v}{\lVert v\rVert=\sqrt{2}}=\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.

Passo 4

Calcular o gradiente de f e avaliá‑lo em (1,2).
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y.
Portanto
\displaystyle \nabla f(x,y)=\langle 6x,\,-2y\rangle.
Avaliando em (1,2):
\nabla f(1,2)=\langle 6\cdot1,\,-2\cdot2\rangle=\langle 6,\,-4\rangle.

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada direcional como produto escalar:
D_{u}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot u =\langle 6,-4\rangle\cdot\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.
Fazendo o produto escalar:
D_{u}f(1,2)=\frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{-4}{\sqrt{2}}=\frac{6-4}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.
Simplificando \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Portanto a derivada direcional vale \sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação rápida (para a prova): o valor \sqrt{2} significa que, no ponto (1,2), se você se mover com velocidade unitária na direção do vetor \langle1,1\rangle, a função f cresce à taxa \sqrt{2} por unidade de deslocamento nessa direção. Isso combina a informação de inclinação em x e y dada pelo gradiente e a projeção na direção escolhida.

Resposta

\sqrt{2}

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