- Determine
para
na direção de
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O ponto onde queremos o derivada direcional:
. - O vetor direção
.
O que é pedido:
- Calcular
, ou seja, a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Note que a derivada direcional usa o vetor unitário na direção dada; portanto é necessário normalizar antes de aplicar a fórmula.
Passo 2
Conceito e fórmula útil (explicação didática): a derivada direcional em direção ao vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir do ponto no sentido de
. Uma forma prática e usual de calcular é usando o gradiente:
onde
é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de
, isto é
e
deve ser um vetor unitário (
). Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada a um caminho parametrizado na direção
.
Passo 3
Calcular o vetor unitário
na direção de
.
Primeiro o comprimento de
:
Logo o vetor unitário é
Passo 4
Calcular o gradiente de
e avaliá‑lo em
.
As derivadas parciais são:
Portanto
Avaliando em
:
Passo 5
Aplicar a fórmula da derivada direcional como produto escalar:
Fazendo o produto escalar:
Simplificando
. Portanto a derivada direcional vale
.
Passo 6
Interpretação rápida (para a prova): o valor
significa que, no ponto
, se você se mover com velocidade unitária na direção do vetor
, a função
cresce à taxa
por unidade de deslocamento nessa direção. Isso combina a informação de inclinação em
e
dada pelo gradiente e a projeção na direção escolhida.