Calcule a tensão média e a ondulação (ripple) de tensão na carga do circuito abaixo. Considere que a tensão de entrada V_{\text {in }} é senoidal com valor eficaz V_{R M S}=10 \mathrm{~V} e frequência de 60 Hz , R_{1}=100 \Omega, C_{1}=330 \mu F e o diodo é ideal.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a tensão média na carga (valor médio DC de V_o).
  • Calcular a ondulação (ripple) de tensão na carga, isto é, a variação pico-a-pico \Delta V_{pp}.
Informações fornecidas (valores numéricos extraídos do enunciado e da figura):
  • Tensão de entrada senoidal com valor eficaz \;V_{RMS}=10\\ \mathrm{V} e frequência \;f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Resistência de carga \;R_1=100\\ \Omega (valor presente na imagem).
  • Capacitor de filtro \;C_1=330\\ \mu\mathrm{F} (valor presente na imagem).
  • Diodo ideal (sem queda de tensão).
  • Topologia mostrada: retificador de meia-onda com capacitor de filtro em paralelo com a carga.

Passo 2

Converter a tensão eficaz para a amplitude (valor de pico) da senóide de entrada.
A relação é \;V_p=\sqrt{2}\;V_{RMS}. Então:
V_p=\sqrt{2}\cdot 10\\ \mathrm{V} \approx 14{,}142\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Entender o comportamento do circuito (explicação didática):
  • Como o diodo é ideal, o capacitor carrega rapidamente até aproximadamente o pico da senóide quando a entrada atinge o pico; portanto a tensão máxima no capacitor a cada ciclo é aproximadamente \;V_{max}\approx V_p.
  • Depois do pico, a fonte cai e o diodo fica bloqueado; então o capacitor fornece corrente para a carga R_1 e sua tensão decai exponencialmente até o próximo pico em que o diodo reabastece o capacitor.
  • A descarga do capacitor através de R_1 é descrita pela equação diferencial do circuito RC: \;i=C\,\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{v}{R}. Resolvendo (passo a passo):
    • Escrevendo a equação de descarga: \;C\,\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{v}{R}=0.
    • Separando e integrando chega-se à solução exponencial:
    v(t)=V_{max}\,e^{-t/(RC)},onde v(t) é a tensão no capacitor no tempo t contado desde o instante em que o capacitor estava em V_{max}.
  • Para um retificador de meia-onda a recarga ocorre uma vez por período da rede, portanto o intervalo de descarga aproximado é o período \;T=1/f.

Passo 4

Calcular o período e a constante de tempo:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60\\ \mathrm{Hz}}\approx 0{,}0166667\\ \mathrm{s},
RC=R_1 C_1 = 100\\ \Omega \cdot 330\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}=0{,}033\\ \mathrm{s}.
Calcular o fator de decaimento:
e^{-T/(RC)}=e^{-0{,}0166667/0{,}033}\approx e^{-0{,}50505}\approx 0{,}6036.

Passo 5

Determinar a tensão mínima no final do intervalo de descarga (justo antes da próxima recarga):
V_{min}=V_{max}\,e^{-T/(RC)}\approx V_p\cdot 0{,}6036.
Substituindo numericamente:
V_{min}\approx 14{,}142\\ \mathrm{V}\times 0{,}6036\approx 8{,}54\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular a ondulação pico-a-pico \Delta V_{pp} (ripple):
\Delta V_{pp}=V_{max}-V_{min}=V_p\left(1-e^{-T/(RC)}\right).
Substituindo valores:
\Delta V_{pp}\approx 14{,}142\\ \mathrm{V}\times(1-0{,}6036)\approx 14{,}142\\ \mathrm{V}\times 0{,}3964\approx 5{,}61\\ \mathrm{V}.
Observação prática (atitude de prova): para pequenos ripples pode-se usar a aproximação linear
\Delta V \approx I_{load}\frac{T}{C},
onde I_{load}\approx V_{avg}/R. Essa aproximação rápida dá resultado semelhante quando se usa V_{avg} consistente com o circuito, mas aqui usamos a solução exponencial exata porque o RC e T são comparáveis.

Passo 7

Calcular a tensão média V_{avg} sobre um intervalo de descarga (valor médio ao longo do período). A média do sinal v(t)=V_p e^{-t/(RC)} de t=0 a t=T é
V_{avg}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_p e^{-t/(RC)}\,dt =V_p\frac{RC}{T}\left(1-e^{-T/(RC)}\right).
Substituindo numericamente:
\frac{RC}{T}=\frac{0{,}033}{0{,}0166667}\approx 1{,}98,
V_{avg}\approx 14{,}142\\ \mathrm{V}\times 1{,}98\times 0{,}3964\approx 14{,}142\\ \mathrm{V}\times 0{,}7855\approx 11{,}11\\ \mathrm{V}.

Resposta

V_{avg}\approx 11{,}11\\ \mathrm{V}
\Delta V_{pp}\approx 5{,}61\\ \mathrm{V}

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