Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão: e^(2 z) + e^(z) + 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Essa questão envolve exponenciais e números complexos. A gente vai precisar usar um truque de substituição para simplificar a equação e depois resolver uma equação quadrática. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar . Assim, a equação original fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática em w. Para resolver isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Então, as soluções para w são:
Esses números são complexos e estão na forma de , onde theta é o argumento do número complexo.

Passo 5

Como , podemos escrever:
Para números complexos, o logaritmo é multivalorado, então:

Passo 6

Calculando :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar o argumento . Para :
E para :

Passo 8

Portanto, as soluções para z são:

Resposta

Todos os valores de z que satisfazem a equação são:

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