1. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
    y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
    h(t)= y^prime prime+2 y^prime+2 y=h(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1 ; h(t)= 1, & pi <= t<2 pi 0, & 0 <= t= 2 pi
    \end{aligned}
$$

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
y'' + 2y' + 2y = h(t)
com as condições iniciais h(t) = 1, & pi <= t < 2pi 0, & caso contrário e . A função é definida por:
á
Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação, porque ela ajuda muito quando a função não é constante, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial no domínio do tempo para o domínio de Ly'' + 2Ly' + 2Ly = Lh(t) , tornando mais fácil resolver para , que é a transformada de .
Aplicando a Transformada de Laplace:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Substituindo as condições iniciais s^2Y(s) - 0 - 1 + 2(sY(s) - 0) + 2Y(s) = Lh(t) e (s^2 + 2s + 2)Y(s) - 1 = Lh(t) :
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver para Y(s) = 1s^2 + 2s + 2 + Lh(t)s^2 + 2s + 2 :
h(t) = u(t - pi) - u(t - 2pi)
Agora, precisamos encontrar . Como é uma função que vale 1 entre e , podemos expressá-la usando a função degrau de Heaviside:

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace na expressão de Lh(t) = Lu(t - pi) - Lu(t - 2pi) = e^-pi ss - e^-2pi ss :
Y(s) = 1s^2 + 2s + 2 + e^-pi s - e^-2pi ss(s^2 + 2s + 2)
Substituindo de volta em :

Passo 6

Agora, vamos simplificar s^2 + 2s + 2 = (s + 1)^2 + 1 e encontrar a Transformada Inversa para obter Y(s) = 1(s + 1)^2 + 1 + e^-pi s - e^-2pi ss[(s + 1)^2 + 1] . Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
L^-11(s + a)^2 + b^2 = e^-atsin(bt)
Então:
y(t) = e^-tsin(t) + L^-1e^-pi s - e^-2pi ss[(s + 1)^2 + 1]
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
aplicando isso, temos:

Passo 7

Para a segunda parte, aplicamos a propriedade de deslocamento na Transformada de Laplace:
L^-1e^-ass[(s + 1)^2 + 1] = u(t - a)(1 - e^-(t - a)sin(t - a))
Aplicando isso para y(t) = e^-tsin(t) + u(t - pi)(1 - e^-(t - pi)sin(t - pi)) - u(t - 2pi)(1 - e^-(t - 2pi)sin(t - 2pi)) e :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-tsin(t) + u(t - pi)(1 - e^-(t - pi)sin(t - pi)) - u(t - 2pi)(1 - e^-(t - 2pi)sin(t - 2pi))

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