Calcule o trabalho que deve ser realizado por um agente externo para trazer, em equilíbrio, 3 cargas pontuais de valor
até os vértices de um quadrado de lado
. Inicialmente existe uma carga num dos vértices do quadrado. As cargas estão muito distantes da região onde se acomodarão nos vértices do quadrado. Use
V para
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho que um agente externo precisa realizar, de forma lenta (em equilíbrio), para trazer três cargas pontuais de valor
desde o infinito até três vértices de um quadrado de lado
, sabendo que já existe inicialmente uma carga
localizada em um vértice do quadrado. As cargas que vão ser trazidas estão muito distantes (ou seja, inicialmente em
) e foi fixado o potencial de referência
para
.
Informações relevantes que temos:
- Cada carga tem valor
. - O quadrado tem lado
. - Existe já uma carga
em um dos vértices antes de qualquer transporte. - Trará-se, a partir do infinito, outras três cargas
para ocupar os demais três vértices. - Referência de potencial:
.
O objetivo é calcular o trabalho total realizado pelo agente externo para montar essa configuração.
Passo 2
Conceito físico fundamental que usaremos (explicado devagarinho):
- O trabalho realizado por um agente externo para trazer uma carga
de até um ponto onde já existem outras cargas, movendo-se de maneira quasi-estática (em equilíbrio), é igual ao aumento da energia potencial eletrostática do sistema causado por essa operação. Em palavras: o agente externofaz trabalho contra as forças eletrostáticas e esse trabalho fica armazenado como energia potencial do conjunto de cargas. - A energia potencial de interação entre duas cargas pontuais
e separadas por distância é
onde definimos
Aqui
é a permissividade do vácuo. Cada par de cargas contribui com essa energia; a energia total do sistema de várias cargas é a soma sobre todos os pares distintos:
- Como as cargas são idênticas (
) e partem do infinito (onde ), o trabalho total feito pelo agente externo para montar o sistema é simplesmente a energia potencial final do sistema montado (a energia inicial de interação entre cargas é zero).
Passo 3
Estratégia prática (para facilitar os cálculos e a intuição): vamos trazer as três cargas uma a uma, somando o trabalho necessário em cada passo. Isso dá o mesmo resultado que somar todas as contribuições par a par ao final, mas é mais didático para a prova.
Rotulemos os vértices do quadrado em ordem
. Suponha que a carga inicial esteja no vértice
. Vamos trazer cargas para
, depois para
e por fim para
. As distâncias entre vértices são:
- entre vértices adjacentes (arestas):
, - entre vértices opostos pela diagonal:
.
Quando trouxermos uma nova carga, o trabalho necessário é a soma das energias de interação entre essa nova carga e todas as cargas já presentes.
Passo 4
Trazer a primeira das três cargas (a que vai para o vértice
):
- Antes de trazê-la existe apenas a carga em
. - A nova carga em
ficará a distância da carga em . - O trabalho realizado pelo agente externo ao trazer a carga de
até é
Explicação: ao aproximar a carga
até
, o agente vence a repulsão da carga em
; essa energia vai para a energia potencial
.
Passo 5
Trazer a segunda carga (a que vai para o vértice
):
- Quando trazemos a carga para
já existem cargas em e . - Distâncias:
está a de (adjacente) e a de (diagonal). - O trabalho para trazer essa carga é a soma das interações com
e com :
Explicação: cada par nova–existente contribui com
.
Passo 6
Trazer a terceira carga (a que vai para o vértice
):
- Agora já existem cargas em
. - Distâncias de
para as demais: para é (adjacente), para é (adjacente), para é (diagonal). - O trabalho para trazer essa carga é a soma das três interações:
Passo 7
Somando os trabalhos parciais temos o trabalho total exigido ao montar a configuração:
Substituindo as expressões:
Agrupando termos semelhantes:
Como
, obtemos
Voltando à constante elétrica,
portanto uma forma equivalente é
Interpretação:
porque cargas iguais se repelem e o agente externo precisa fornecer energia para aproximá-las.