Calcule o trabalho que deve ser realizado por um agente externo para trazer, em equilíbrio, 3 cargas pontuais de valor q até os vértices de um quadrado de lado \ell. Inicialmente existe uma carga num dos vértices do quadrado. As cargas estão muito distantes da região onde se acomodarão nos vértices do quadrado. Use V=0 V para r \longrightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho que um agente externo precisa realizar, de forma lenta (em equilíbrio), para trazer três cargas pontuais de valor q desde o infinito até três vértices de um quadrado de lado \ell, sabendo que já existe inicialmente uma carga q localizada em um vértice do quadrado. As cargas que vão ser trazidas estão muito distantes (ou seja, inicialmente em r\to\infty) e foi fixado o potencial de referência V=0 para r\to\infty.
Informações relevantes que temos:
  • Cada carga tem valor q.
  • O quadrado tem lado \ell.
  • Existe já uma carga q em um dos vértices antes de qualquer transporte.
  • Trará-se, a partir do infinito, outras três cargas q para ocupar os demais três vértices.
  • Referência de potencial: V(\infty)=0.
    O objetivo é calcular o trabalho total realizado pelo agente externo para montar essa configuração.

Passo 2

Conceito físico fundamental que usaremos (explicado devagarinho):
  • O trabalho realizado por um agente externo para trazer uma carga q de \infty até um ponto onde já existem outras cargas, movendo-se de maneira quasi-estática (em equilíbrio), é igual ao aumento da energia potencial eletrostática do sistema causado por essa operação. Em palavras: o agente externofaz trabalho contra as forças eletrostáticas e esse trabalho fica armazenado como energia potencial do conjunto de cargas.
  • A energia potencial de interação entre duas cargas pontuais q_1 e q_2 separadas por distância r é
U_{12} = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r},
onde definimos
k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Cada par de cargas contribui com essa energia; a energia total do sistema de várias cargas é a soma sobre todos os pares distintos:
U_{\text{total}}=\sum_{i<j} k\,\dfrac{q_i q_j}{r_{ij}}.
  • Como as cargas são idênticas ( q) e partem do infinito (onde V=0), o trabalho total feito pelo agente externo para montar o sistema é simplesmente a energia potencial final do sistema montado (a energia inicial de interação entre cargas é zero).

Passo 3

Estratégia prática (para facilitar os cálculos e a intuição): vamos trazer as três cargas uma a uma, somando o trabalho necessário em cada passo. Isso dá o mesmo resultado que somar todas as contribuições par a par ao final, mas é mais didático para a prova.
Rotulemos os vértices do quadrado em ordem A,B,C,D. Suponha que a carga inicial esteja no vértice A. Vamos trazer cargas para B, depois para C e por fim para D. As distâncias entre vértices são:
  • entre vértices adjacentes (arestas): \ell,
  • entre vértices opostos pela diagonal: \sqrt{2}\,\ell.
Quando trouxermos uma nova carga, o trabalho necessário é a soma das energias de interação entre essa nova carga e todas as cargas já presentes.

Passo 4

Trazer a primeira das três cargas (a que vai para o vértice B):
  • Antes de trazê-la existe apenas a carga em A.
  • A nova carga em B ficará a distância \ell da carga em A.
  • O trabalho realizado pelo agente externo ao trazer a carga de \infty até B é
W_1 = k\,\dfrac{q\cdot q}{\ell} = k\,\dfrac{q^2}{\ell}.
Explicação: ao aproximar a carga q até B, o agente vence a repulsão da carga em A; essa energia vai para a energia potencial U_{AB}.

Passo 5

Trazer a segunda carga (a que vai para o vértice C):
  • Quando trazemos a carga para C já existem cargas em A e B.
  • Distâncias: C está a \ell de B (adjacente) e a \sqrt{2}\,\ell de A (diagonal).
  • O trabalho para trazer essa carga é a soma das interações com A e com B:
W_2 = k\left(\dfrac{q^2}{\ell} + \dfrac{q^2}{\sqrt{2}\,\ell}\right) = k\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Explicação: cada par nova–existente contribui com k q^2/r.

Passo 6

Trazer a terceira carga (a que vai para o vértice D):
  • Agora já existem cargas em A,B,C.
  • Distâncias de D para as demais: para A é \ell (adjacente), para C é \ell (adjacente), para B é \sqrt{2}\,\ell (diagonal).
  • O trabalho para trazer essa carga é a soma das três interações:
W_3 = k\left(\dfrac{q^2}{\ell} + \dfrac{q^2}{\ell} + \dfrac{q^2}{\sqrt{2}\,\ell}\right) = k\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 7

Somando os trabalhos parciais temos o trabalho total exigido ao montar a configuração:
W = W_1 + W_2 + W_3.
Substituindo as expressões:
W = k\,\dfrac{q^2}{\ell} + k\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + k\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Agrupando termos semelhantes:
W = k\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(1 + 1 + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = k\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(4 + \dfrac{2}{\sqrt{2}}\right).
Como \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, obtemos
W = k\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(4+\sqrt{2}\right).
Voltando à constante elétrica,
k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0},
portanto uma forma equivalente é
W = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q^2}{\ell}\left(4+\sqrt{2}\right).
Interpretação: W>0 porque cargas iguais se repelem e o agente externo precisa fornecer energia para aproximá-las.

Resposta

W = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q^2}{\ell}\,\bigl(4+\sqrt{2}\bigr)

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