- Calcule o trabalho realizado por
ao longo do semicírculo
de centro na origem que vai de
a
. (Sugestão: use o teorema de Green, mas cuidado, note que
não é fechada.)
Passo 1
O enunciado pede o trabalho
onde
. Escrevendo em componentes, temos
O caminho
é o semicírculo de raio 1 centrado na origem, indo de
a
no sentido anti-horário. A sugestão é usar o teorema de Green, mas como
não é fechado, vamos fechá-lo.
Passo 2
Fechamos
juntando-o com o segmento
que vai de
a
pelo eixo
. Denotemos por
o contorno fechado que percorre
no sentido anti-horário e depois
de
a
.
Passo 3
Pelo teorema de Green, para
positivamente orientada,
Aqui
logo o integrando é
. A região
é o meio-disco de raio 1 acima do eixo
, cuja área é
. Assim,
Passo 4
O trabalho sobre o segmento
de
a
é
mas em
temos
, então
e
. Portanto
e
Passo 5
Da decomposição
segue
Como
e
, vem