1. Calcule o trabalho realizado por \mathbf{F}=\left(y^{3}+e^{y}+x\right) \mathbf{j} ao longo do semicírculo C de centro na origem que vai de (1,0) a (-1,0). (Sugestão: use o teorema de Green, mas cuidado, note que C não é fechada.)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}=(y^{3}+e^{y}+x)\,\mathbf{j}. Escrevendo em componentes, temos
P(x,y)=0, \quad Q(x,y)=y^{3}+e^{y}+x.
O caminho C é o semicírculo de raio 1 centrado na origem, indo de (1,0) a (-1,0) no sentido anti-horário. A sugestão é usar o teorema de Green, mas como C não é fechado, vamos fechá-lo.

Passo 2

Fechamos C juntando-o com o segmento S que vai de (-1,0) a (1,0) pelo eixo x. Denotemos por \Gamma=C+S o contorno fechado que percorre C no sentido anti-horário e depois S de (-1,0) a (1,0).

Passo 3

Pelo teorema de Green, para \Gamma positivamente orientada,
\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui
\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=0,
logo o integrando é 1. A região D é o meio-disco de raio 1 acima do eixo x, cuja área é \tfrac{\pi}{2}. Assim,
\oint_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}1\,dA =\frac{\pi}{2}.

Passo 4

O trabalho sobre o segmento S de (-1,0) a (1,0) é
\int_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
mas em S temos y=0, então \mathbf{F}=(0,\,1+x) e d\mathbf{r}=(dx,0). Portanto
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0\cdot dx+(1+x)\cdot0=0
e
\int_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

Passo 5

Da decomposição \Gamma=C+S segue
\oint_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} +\int_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Como \oint_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\tfrac{\pi}{2} e \int_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0, vem
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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