Calcule a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Fourier do sinal
.\n
Informações fornecidas:
\ \ A função a transformar é
, definida para todo
.\n
\ \ Não há outras restrições; queremos a transformada em função da frequência
.\n
Observação importante (apenas identificação dos dados): a função é real e resulta da multiplicação de (uma função even) por
(uma função odd).
Informações fornecidas:
Observação importante (apenas identificação dos dados): a função é real e resulta da multiplicação de
Passo 2
Definição e propriedades básicas que vamos usar.\n
A transformada de Fourier que vou usar é a convenção
A transformada de Fourier que vou usar é a convenção
onde
é a variável de frequência (real). Essa integral combina o sinal no tempo
com exponenciais complexas para produzir a sua representação em frequência.\n
Duas propriedades essenciais que usaremos (e explico por quê): linearidade e modulação (deslocamento em frequência).\n
Linearidade significa que se então
. Isso nos permite decompor sinais.\n
A propriedade de modulação (ou deslocamento em frequência) diz: se tem transformada
, então
Duas propriedades essenciais que usaremos (e explico por quê): linearidade e modulação (deslocamento em frequência).\n
Linearidade significa que se
A propriedade de modulação (ou deslocamento em frequência) diz: se
Isto ocorre porque
ou seja, apenas substituímos
por
na transformada de
.
Passo 3
Decompomos
em exponenciais complexas para usar linearidade e modulação de forma prática. A identidade é
Portanto
Isso transforma o problema de uma única transformada em duas transformadas de funções do tipo
.
Passo 4
Aplicando linearidade, a transformada
é
Pela propriedade de modulação, se chamarmos
então
Logo
Passo 5
Agora precisamos de
. Vou calcular essa transformada do início, mostrando todos os passos.\n
Pela definição,
Pela definição,
Como a função
é simétrica (even), separamos a integral em duas metades:
Cada uma é uma integral exponencial do tipo
com
. A fórmula básica é
porque a integral de
de
a
é
quando
.\n
Aplicando isso, temos
Aplicando isso, temos
Somando as frações (conjugadas) obtemos
Portanto
Comentário:
é real e par (even), como esperado para a transformada de uma função even e real.
Passo 6
Voltando para
, substituímos
na expressão obtida no Passo 4:
Podemos simplificar o fator
:
Passo 7
Agora fazemos a simplificação algébrica para obter uma forma única (um único quociente), o que deixa o resultado mais elegante e fácil de usar na prova.\n
Calcule o numerador comum da diferença de frações:
Calcule o numerador comum da diferença de frações:
No numerador ocorrem cancelamentos dos
, sobrando:
Expandindo:
Então a diferença das frações é
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos
Passo 8
Podemos transformar
em
(pois
), ficando
Convém também simplificar o denominador em uma única expressão em
. Calculemos
Primeiro escrevemos
. Então cada fator é
, e o produto é
Isto é da forma
com
e
. Assim
Expandindo:
Portanto o denominador simplifica-se para
. Consequentemente:
Passo 9
Interpretação rápida e checagem: a função
é real e ímpar (odd), logo sua transformada deve ser imaginária pura e ímpar em
. O resultado
é de fato puramente imaginário (proporcional a
) e é uma função ímpar de
(pois aparece o fator
no numerador), então está consistente.