Calcule a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais:
e^{-3|t|} \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Fourier do sinal e^{-3|t|}\operatorname{sen} 2t.\n
Informações fornecidas:
\;1\ \ A função a transformar é f(t)=e^{-3|t|}\sin 2t, definida para todo t\in\mathbb{R}.\n
\;2\ \ Não há outras restrições; queremos a transformada em função da frequência \omega.\n
Observação importante (apenas identificação dos dados): a função é real e resulta da multiplicação de e^{-3|t|} (uma função even) por \sin 2t (uma função odd).

Passo 2

Definição e propriedades básicas que vamos usar.\n
A transformada de Fourier que vou usar é a convenção
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
onde \omega é a variável de frequência (real). Essa integral combina o sinal no tempo f(t) com exponenciais complexas para produzir a sua representação em frequência.\n
Duas propriedades essenciais que usaremos (e explico por quê): linearidade e modulação (deslocamento em frequência).\n
Linearidade significa que se f=g+h então \mathcal{F}\{f\}=\mathcal{F}\{g\}+\mathcal{F}\{h\}. Isso nos permite decompor sinais.\n
A propriedade de modulação (ou deslocamento em frequência) diz: se g(t) tem transformada G(\omega)=\mathcal{F}\{g\}(\omega), então
\mathcal{F}\{g(t)e^{i\omega_0 t}\}(\omega)=G(\omega-\omega_0).
Isto ocorre porque
\int g(t)e^{i\omega_0 t}e^{-i\omega t}dt=\int g(t)e^{-i(\omega-\omega_0)t}dt,
ou seja, apenas substituímos \omega por \omega-\omega_0 na transformada de g.

Passo 3

Decompomos \sin 2t em exponenciais complexas para usar linearidade e modulação de forma prática. A identidade é
\sin 2t=\frac{e^{i2t}-e^{-i2t}}{2i}.
Portanto
f(t)=e^{-3|t|}\sin 2t=\frac{1}{2i}\Big(e^{-3|t|}e^{i2t}-e^{-3|t|}e^{-i2t}\Big).
Isso transforma o problema de uma única transformada em duas transformadas de funções do tipo e^{-3|t|}e^{\pm i2t}.

Passo 4

Aplicando linearidade, a transformada F(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega) é
F(\omega)=\frac{1}{2i}\Big(\mathcal{F}\{e^{-3|t|}e^{i2t}\}(\omega)-\mathcal{F}\{e^{-3|t|}e^{-i2t}\}(\omega)\Big).
Pela propriedade de modulação, se chamarmos
G(\omega)=\mathcal{F}\{e^{-3|t|}\}(\omega),
então
\mathcal{F}\{e^{-3|t|}e^{i2t}\}(\omega)=G(\omega-2) \quad\text{e}\quad \mathcal{F}\{e^{-3|t|}e^{-i2t}\}(\omega)=G(\omega+2).
Logo
F(\omega)=\frac{1}{2i}\big(G(\omega-2)-G(\omega+2)\big).

Passo 5

Agora precisamos de G(\omega)=\mathcal{F}\{e^{-3|t|}\}(\omega). Vou calcular essa transformada do início, mostrando todos os passos.\n
Pela definição,
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3|t|}e^{-i\omega t}\,dt.
Como a função e^{-3|t|} é simétrica (even), separamos a integral em duas metades:
G(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-3t}e^{-i\omega t}\,dt+\int_{0}^{\infty} e^{-3t}e^{+i\omega t}\,dt.
Cada uma é uma integral exponencial do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-(a+i\omega)t}\,dt com a=3>0. A fórmula básica é
\int_{0}^{\infty} e^{-(a+i\omega)t}\,dt=\frac{1}{a+i\omega}\qquad(\text{para }a>0),
porque a integral de e^{-\alpha t} de 0 a \infty é 1/\alpha quando \Re(\alpha)>0.\n
Aplicando isso, temos
G(\omega)=\frac{1}{3+i\omega}+\frac{1}{3-i\omega}.
Somando as frações (conjugadas) obtemos
G(\omega)=\frac{(3-i\omega)+(3+i\omega)}{(3+i\omega)(3-i\omega)}=\frac{6}{9+\omega^2}.
Portanto
G(\omega)=\frac{6}{9+\omega^2}.
Comentário: G(\omega) é real e par (even), como esperado para a transformada de uma função even e real.

Passo 6

Voltando para F(\omega), substituímos G na expressão obtida no Passo 4:
F(\omega)=\frac{1}{2i}\Big(\frac{6}{9+(\omega-2)^2}-\frac{6}{9+(\omega+2)^2}\Big).
Podemos simplificar o fator 6:
F(\omega)=\frac{3}{i}\Big(\frac{1}{9+(\omega-2)^2}-\frac{1}{9+(\omega+2)^2}\Big).

Passo 7

Agora fazemos a simplificação algébrica para obter uma forma única (um único quociente), o que deixa o resultado mais elegante e fácil de usar na prova.\n
Calcule o numerador comum da diferença de frações:
\frac{1}{9+(\omega-2)^2}-\frac{1}{9+(\omega+2)^2} =\frac{9+(\omega+2)^2-(9+(\omega-2)^2)}{(9+(\omega-2)^2)(9+(\omega+2)^2)}.
No numerador ocorrem cancelamentos dos 9, sobrando:
(\omega+2)^2-(\omega-2)^2.
Expandindo:
(\omega+2)^2-(\omega-2)^2=(\omega^2+4\omega+4)-(\omega^2-4\omega+4)=8\omega.
Então a diferença das frações é
\frac{8\omega}{(9+(\omega-2)^2)(9+(\omega+2)^2)}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{3}{i} que estava fora, obtemos
F(\omega)=\frac{3}{i}\cdot\frac{8\omega}{(9+(\omega-2)^2)(9+(\omega+2)^2)}=\frac{24\omega}{i\,(9+(\omega-2)^2)(9+(\omega+2)^2)}.

Passo 8

Podemos transformar \dfrac{1}{i} em -i (pois 1/i=-i), ficando
F(\omega)=-24\,i\,\frac{\omega}{(9+(\omega-2)^2)(9+(\omega+2)^2)}.
Convém também simplificar o denominador em uma única expressão em \omega. Calculemos
(9+(\omega-2)^2)(9+(\omega+2)^2).
Primeiro escrevemos (\omega\pm 2)^2=\omega^2\pm 4\omega+4. Então cada fator é \omega^2\pm 4\omega+13, e o produto é
(\omega^2-4\omega+13)(\omega^2+4\omega+13).
Isto é da forma (A-B)(A+B)=A^2-B^2 com A=\omega^2+13 e B=4\omega. Assim
( \omega^2-4\omega+13)(\omega^2+4\omega+13)=(\omega^2+13)^2-(4\omega)^2.
Expandindo:
(\omega^2+13)^2-(4\omega)^2=\omega^4+26\omega^2+169-16\omega^2=\omega^4+10\omega^2+169.
Portanto o denominador simplifica-se para \omega^4+10\omega^2+169. Consequentemente:
F(\omega)=-24\,i\,\frac{\omega}{\omega^4+10\omega^2+169}.

Passo 9

Interpretação rápida e checagem: a função f(t)=e^{-3|t|}\sin 2t é real e ímpar (odd), logo sua transformada deve ser imaginária pura e ímpar em \omega. O resultado
F(\omega)=-24\,i\,\frac{\omega}{\omega^4+10\omega^2+169}
é de fato puramente imaginário (proporcional a i) e é uma função ímpar de \omega (pois aparece o fator \omega no numerador), então está consistente.

Resposta

\mathcal{F}\{e^{-3|t|}\sin 2t\}(\omega)=-24\,i\,\frac{\omega}{\omega^{4}+10\omega^{2}+169}.

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