Determine as transformadas inversas de Laplace dos seguintes sinais:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace do sinal dado por
Listei as informações fornecidas:
- A função no domínio de Laplace é
. - Temos um termo com fator exponencial de atraso
. - O denominador é
.
A pergunta é: qual é?
Passo 2
Primeiro passo técnico: separar a expressão em parcelas mais simples (linearidade da transformada de Laplace). Escrevo
Isso é permitido porque
é linear, então posso inverter cada parcela separadamente.
Passo 3
Identifico que o termo com
indica um atraso no tempo (teorema do deslocamento no tempo). Vou lembrar a fórmula-chave:
onde
e
é a função degrau unitário (Heaviside) que vale
para
e
para
. Aqui
.
Passo 4
Antes de aplicar o teorema do deslocamento, vejo que o denominador pode ser completado o quadrado:
Isso é útil porque devo reconhecer transformadas pares conhecidas do tipo
e
.
Passo 5
Trato a parcela
. Faço a decomposição escrevendo
:
Agora uso transformadas inversas padrão (são fórmulas que precisamos decorar ou saber reconhecer):
-
. -
.
Portanto, aplicandoem cada termo:
Passo 6
Agora volto ao termo com atraso. Pelo teorema do deslocamento, a inversa de
é a função obtida no passo anterior deslocada em
unidades e multiplicada por
. Logo:
Passo 7
Agora trato a segunda parcela
. Usando a transformada padrão citada:
Multiplicando por
:
Passo 8
Finalmente somo as duas partes (pela linearidade):
Posso deixar assim, ou factorizar
dentro do termo com
. Esta expressão está em termos de funções elementares e da função degrau, pronta para uso na prova.