Calcular as transformadas de Fourier de:
Use a Equação de análise 4.9 da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
(b)
Use a Equação de análise 4.9 da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier de
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- Função a transformar:
. - Queremos
.
Nada mais é pedido; vamos calcular passo a passo a transformada para todo.
Passo 2
Lembrete da definição que usaremos (a equação de análise padrão): a transformada de Fourier de uma função
é
onde
é a frequência angular (a variável da transformada) e
.
Também vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo: se , então
Também vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo: se
onde
é a transformada de
. Vou justificar essa propriedade no próximo passo (é importante saber por que vale).
Passo 3
Justificativa da propriedade de deslocamento (curtinha, prática): suponha
. Então
faça a substituição
, então
e
. Os limites continuam
a
. Assim
Portanto, deslocar a função no tempo por
multiplica sua transformada por
. Isso é exatamente o que usaremos para
.
Passo 4
Observe que
é um deslocamento de
. Ou seja,
Pela propriedade de deslocamento do passo anterior, se
é a transformada de
, então
Logo basta calcular
e depois multiplicar por
.
Passo 5
Cálculo de
.
A função é par (isto é,
), então podemos usar simetria. Mas eu vou fazer quebrando a integral em duas partes para ficar bem explícito:
A função
No primeiro integral, faça a mudança de variável
(então quando
vai de
a
,
vai de
a
; ao trocar os limites obtemos):
Renomeando
de volta para
(padrão), obtemos
Agora combine as duas integrais (são conjugadas complexas):
Uma forma direta de avaliar é retornar às exponenciais e usar integrais de forma racional. Vou calcular cada uma das integrais exponenciais separadamente, que é mais direto para manipular números complexos:
porque
garante que a exponencial no infinito vai a zero. Analogamente,
Somando as duas contribuições:
Vamos colocar num denominador comum para simplificar:
(Aqui usei
.)
Passo 6
Agora aplicamos o fator de deslocamento do passo 4. Como
e encontramos
, temos
Isso é já a forma final e simples da transformada de Fourier de
. Podemos interpretar: o módulo é
e a fase é
(em radianos), mas isso é só comentário adicional.