Calcular as transformadas de Fourier de:
Use a Equação de análise 4.9 da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
(b) e^{-2|t-1|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier de e^{-2|t-1|}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Função a transformar: f(t)=e^{-2|t-1|}.
  • Queremos \displaystyle F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
    Nada mais é pedido; vamos calcular passo a passo a transformada para todo \omega\in\mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete da definição que usaremos (a equação de análise padrão): a transformada de Fourier de uma função h(t) é
H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
onde \omega é a frequência angular (a variável da transformada) e i=\sqrt{-1}.
Também vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo: se h(t)=g(t-t_0), então
H(\omega)=e^{-i\omega t_0}G(\omega),
onde G(\omega) é a transformada de g(t). Vou justificar essa propriedade no próximo passo (é importante saber por que vale).

Passo 3

Justificativa da propriedade de deslocamento (curtinha, prática): suponha h(t)=g(t-t_0). Então
H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t-t_0)\,e^{-i\omega t}\,dt.
faça a substituição u=t-t_0, então t=u+t_0 e dt=du. Os limites continuam -\infty a +\infty. Assim
H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-i\omega (u+t_0)}\,du = e^{-i\omega t_0}\int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-i\omega u}\,du = e^{-i\omega t_0}G(\omega).
Portanto, deslocar a função no tempo por t_0 multiplica sua transformada por e^{-i\omega t_0}. Isso é exatamente o que usaremos para t_0=1.

Passo 4

Observe que f(t)=e^{-2|t-1|} é um deslocamento de g(t)=e^{-2|t|}. Ou seja,
f(t)=g(t-1).
Pela propriedade de deslocamento do passo anterior, se G(\omega) é a transformada de g(t)=e^{-2|t|}, então
F(\omega)=e^{-i\omega\cdot 1}G(\omega)=e^{-i\omega}G(\omega).
Logo basta calcular G(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|t|} e^{-i\omega t}\,dt e depois multiplicar por e^{-i\omega}.

Passo 5

Cálculo de G(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|t|} e^{-i\omega t}\,dt.
A função e^{-2|t|} é par (isto é, e^{-2|-t|}=e^{-2|t|}), então podemos usar simetria. Mas eu vou fazer quebrando a integral em duas partes para ficar bem explícito:
G(\omega)=\int_{-\infty}^{0} e^{-2(-t)} e^{-i\omega t}\,dt + \int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-i\omega t}\,dt.
No primeiro integral, faça a mudança de variável u=-t (então quando t vai de -\infty a 0, u vai de +\infty a 0; ao trocar os limites obtemos):
\int_{-\infty}^{0} e^{-2(-t)} e^{-i\omega t}\,dt = \int_{\infty}^{0} e^{-2u} e^{-i\omega (-u)}(-du) = \int_{0}^{\infty} e^{-2u} e^{i\omega u}\,du.
Renomeando u de volta para t (padrão), obtemos
G(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{i\omega t}\,dt + \int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-i\omega t}\,dt.
Agora combine as duas integrais (são conjugadas complexas):
G(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-2t}\big(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\big)\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-2t}\cdot 2\cos(\omega t)\,dt.
Uma forma direta de avaliar é retornar às exponenciais e usar integrais de forma racional. Vou calcular cada uma das integrais exponenciais separadamente, que é mais direto para manipular números complexos:
\int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-i\omega t}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(2+i\omega)t}\,dt = \left[\frac{e^{-(2+i\omega)t}}{-(2+i\omega)}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2+i\omega},
porque \Re(2+i\omega)=2>0 garante que a exponencial no infinito vai a zero. Analogamente,
\int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{i\omega t}\,dt = \frac{1}{2-i\omega}.
Somando as duas contribuições:
G(\omega)=\frac{1}{2+i\omega}+\frac{1}{2-i\omega}.
Vamos colocar num denominador comum para simplificar:
G(\omega)=\frac{2-i\omega + 2+i\omega}{(2+i\omega)(2-i\omega)} = \frac{4}{4+\omega^{2}}.
(Aqui usei (2+i\omega)(2-i\omega)=2^{2}+( \omega)^{2}=4+\omega^{2}.)

Passo 6

Agora aplicamos o fator de deslocamento do passo 4. Como F(\omega)=e^{-i\omega}G(\omega) e encontramos G(\omega)=\dfrac{4}{4+\omega^{2}}, temos
F(\omega)=\frac{4\,e^{-i\omega}}{4+\omega^{2}}.
Isso é já a forma final e simples da transformada de Fourier de e^{-2|t-1|}. Podemos interpretar: o módulo é \dfrac{4}{4+\omega^{2}} e a fase é -\omega (em radianos), mas isso é só comentário adicional.

Resposta

\boxed{F(\omega)=\dfrac{4\,e^{-i\omega}}{4+\omega^{2}}}

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