Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
d(t)=10 \cos (2 \pi 100 t)+5 \cos (2 \pi 200 t)

Passo 1

O enunciado fornece o sinal
d(t)=10\cos\!\bigl(2\pi 100 t\bigr)+5\cos\!\bigl(2\pi 200 t\bigr).
As coisas pedidas são:
  • Calcular a transformada de Fourier do sinal acima.
  • Esboçar o sinal no domínio da frequência (ou seja, indicar onde ficam os impulsos e quais amplitudes).
  • Encontrar a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos itens (a), (b) e (c).
Observação importante: os itens (a), (b) e (c) não foram fornecidos junto com o enunciado que eu recebi — só veio o item referente a d(t). Portanto não há como calcular a largura de banda nulo-a-nulo desses itens (a),(b),(c) sem suas expressões. Vou, porém, calcular detalhadamente a transformada de d(t) e esboçar o seu espectro no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, defino a convenção de transformada de Fourier que vou usar (a convenção em frequência linear, em Hz):
D(f)=\int_{-\infty}^{\infty} d(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt.
Vou usar duas propriedades básicas que precisamos entender e que fazem a resolução virar rotina:
  1. Linearidade: a transformada de soma é soma das transformadas e constantes saem multiplicando.
  2. Transformada de um exponencial complexo puro:
\mathcal{F}\{e^{j2\pi f_0 t}\}(f)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi f_0 t} e^{-j2\pi f t}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi(f-f_0)t}\,dt=\delta(f-f_0).
Isto significa, em palavras simples: um exponencial complexo de frequência f_0 corresponde a um impulso (delta de Dirac) centrado em f=f_0 no domínio da frequência. O delta é uma “linha espectral” infinitamente estreita com área unitária. Para um multiplicador constante A, a transformada fica A\delta(f-f_0).

Passo 3

Agora escrevemos cada cosseno como soma de exponenciais complexos (identidade fundamental):
\cos\!\bigl(2\pi f_0 t\bigr)=\frac{1}{2}\Bigl(e^{j2\pi f_0 t}+e^{-j2\pi f_0 t}\Bigr).
Aplicando isso a cada termo de d(t):
10\cos\!\bigl(2\pi 100 t\bigr)=10\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{j2\pi 100 t}+e^{-j2\pi 100 t}\bigr)=5e^{j2\pi 100 t}+5e^{-j2\pi 100 t},
5\cos\!\bigl(2\pi 200 t\bigr)=5\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{j2\pi 200 t}+e^{-j2\pi 200 t}\bigr)=2{,}5e^{j2\pi 200 t}+2{,}5e^{-j2\pi 200 t}.
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d(t)=5e^{j2\pi 100 t}+5e^{-j2\pi 100 t}+2{,}5e^{j2\pi 200 t}+2{,}5e^{-j2\pi 200 t}.

Passo 4

Aplicando a transformada (linearidade + regra do exponencial):
  • \mathcal{F}\{e^{j2\pi 100 t}\}(f)=\delta(f-100).
  • \mathcal{F}\{e^{-j2\pi 100 t}\}(f)=\delta(f+100).
  • \mathcal{F}\{e^{j2\pi 200 t}\}(f)=\delta(f-200).
  • \mathcal{F}\{e^{-j2\pi 200 t}\}(f)=\delta(f+200).
Multiplicando pelos coeficientes obtidos em d(t) e somando:
D(f)=5\delta(f-100)+5\delta(f+100)+2{,}5\delta(f-200)+2{,}5\delta(f+200).

Passo 5

Podemos reescrever de forma agrupada:
D(f)=5\bigl[\delta(f-100)+\delta(f+100)\bigr]+2{,}5\bigl[\delta(f-200)+\delta(f+200)\bigr].
Interpretação prática:
  • Há linhas espectrais (impulsos) em f=+100\\ \text{Hz} e f=-100\\ \text{Hz} com amplitude (coeficiente) 5.
  • Há linhas espectrais (impulsos) em f=+200\\ \text{Hz} e f=-200\\ \text{Hz} com amplitude 2{,}5.
    Porque os coeficientes são reais e positivos, as fases desses componentes são 0 (ou 2\pi k), ou seja, não há deslocamento de fase entre os pares de impulsos que compõem cada cosseno.

Passo 6

Para esboçar o espectro (domínio f em Hz):
  • Desenhe um eixo horizontal marcado em -300,-200,-100,0,100,200,300 (Hz).
  • Em f=+100 trace um impulso (uma “linha vertical” ideal) de altura 5. Escreva ao lado 5.
  • Em f=-100 trace outro impulso de altura 5.
  • Em f=+200 trace um impulso de altura 2{,}5.
  • Em f=-200 trace outro impulso de altura 2{,}5.
  • Em f=0 não há impulso (nenhum componente DC).
    Obs.: como são deltas ideais, no esboço usa-se uma seta apontando para cima com o número da amplitude ao lado. Se preferir um espectro unilateral (apenas f\ge0) os picos aparecem em 100 Hz (5) e 200 Hz (2{,}5).

Passo 7

Conforme informado no Passo 1, os itens (a), (b) e (c) não foram fornecidos no enunciado que recebi. Portanto:
  • Não há como calcular a largura de banda nulo-a-nulo dos itens (a), (b) e (c) porque faltam as expressões desses sinais.
Se for útil: para sinais como d(t) (linhas espectrais discretas), uma definição de largura de banda nulo-a-nulo poderia ser a distância entre as maiores frequências não-nulas (por exemplo, do menor pico não-nulo em frequência positiva ao maior pico), e para d(t) em particular essa largura seria de 200-0=200 Hz numa interpretação unilateral, ou 400 Hz numa interpretação total (de -200 a +200). Mas repito: não calculei formalmente para (a),(b),(c) por falta de dados.

Resposta

D(f)=5\bigl[\delta(f-100)+\delta(f+100)\bigr]+2{,}5\bigl[\delta(f-200)+\delta(f+200)\bigr]
Não é possível calcular a largura de banda nulo-a-nulo dos itens (a),(b),\text{(c)} porque as expressões desses sinais não foram fornecidas.

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