Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
Passo 1
O enunciado fornece o sinal
As coisas pedidas são:
- Calcular a transformada de Fourier do sinal acima.
- Esboçar o sinal no domínio da frequência (ou seja, indicar onde ficam os impulsos e quais amplitudes).
- Encontrar a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos itens (a), (b) e (c).
Observação importante: os itens (a), (b) e (c) não foram fornecidos junto com o enunciado que eu recebi — só veio o item referente a
. Portanto não há como calcular a largura de banda nulo-a-nulo desses itens (a),(b),(c) sem suas expressões. Vou, porém, calcular detalhadamente a transformada de
e esboçar o seu espectro no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, defino a convenção de transformada de Fourier que vou usar (a convenção em frequência linear, em Hz):
Vou usar duas propriedades básicas que precisamos entender e que fazem a resolução virar rotina:
- Linearidade: a transformada de soma é soma das transformadas e constantes saem multiplicando.
- Transformada de um exponencial complexo puro:
Isto significa, em palavras simples: um exponencial complexo de frequência
corresponde a um impulso (delta de Dirac) centrado em
no domínio da frequência. O delta é uma “linha espectral” infinitamente estreita com área unitária. Para um multiplicador constante
, a transformada fica
.
Passo 3
Agora escrevemos cada cosseno como soma de exponenciais complexos (identidade fundamental):
Aplicando isso a cada termo de
:
Logo
Passo 4
Aplicando a transformada (linearidade + regra do exponencial):
-
. -
. -
. -
.
Multiplicando pelos coeficientes obtidos em
e somando:
Passo 5
Podemos reescrever de forma agrupada:
Interpretação prática:
- Há linhas espectrais (impulsos) em
e com amplitude (coeficiente) . - Há linhas espectrais (impulsos) em
e com amplitude .
Porque os coeficientes são reais e positivos, as fases desses componentes são(ou ), ou seja, não há deslocamento de fase entre os pares de impulsos que compõem cada cosseno.
Passo 6
Para esboçar o espectro (domínio
em Hz):
- Desenhe um eixo horizontal marcado em
(Hz). - Em
trace um impulso (uma “linha vertical” ideal) de altura . Escreva ao lado . - Em
trace outro impulso de altura . - Em
trace um impulso de altura . - Em
trace outro impulso de altura . - Em
não há impulso (nenhum componente DC).
Obs.: como são deltas ideais, no esboço usa-se uma seta apontando para cima com o número da amplitude ao lado. Se preferir um espectro unilateral (apenas) os picos aparecem em Hz (5) e Hz (2{,}5).
Passo 7
Conforme informado no Passo 1, os itens (a), (b) e (c) não foram fornecidos no enunciado que recebi. Portanto:
- Não há como calcular a largura de banda nulo-a-nulo dos itens (a), (b) e (c) porque faltam as expressões desses sinais.
Se for útil: para sinais como
(linhas espectrais discretas), uma definição de largura de banda nulo-a-nulo poderia ser a distância entre as maiores frequências não-nulas (por exemplo, do menor pico não-nulo em frequência positiva ao maior pico), e para
em particular essa largura seria de
Hz numa interpretação unilateral, ou
Hz numa interpretação total (de
a
). Mas repito: não calculei formalmente para (a),(b),(c) por falta de dados.
Resposta
Não é possível calcular a largura de banda nulo-a-nulo dos itens
porque as expressões desses sinais não foram fornecidas.