Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
Passo 1
O que o enunciado dá:
- O sinal no tempo é
.
O que o enunciado pede:
- Calcular a transformada de Fourier de
. - Esboçar o sinal no domínio da frequência (ou seja, descrever como é
). - Encontrar a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos itens (a), (b) e (c).
Observação importante: o enunciado mencionou "itens (a), (b) e (c)" mas esses itens (ou a forma explícita de
nesses casos) não foram fornecidos. Portanto não há como calcular valores numéricos de largura de banda para (a), (b) e (c) sem saber o que é
em cada item. Vou, no entanto, resolver a transformada de forma geral em função de
(a transformada de
), explicar passo a passo a teoria usada, e dar a regra geral que permite obter a largura de banda nulo-a-nulo quando
for conhecida.
Passo 2
Ferramentas e conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):
- Representação da cosseno em exponenciais complexas:
Aqui é a frequência da portadora em Hz; no nosso caso . - Se um sinal
tem transformada de Fourier , então multiplicar por um exponencial complexo desloca sua transformada no domínio da frequência: Isto é, multiplicar no tempo por corresponde a deslocar para a direita por . - Como consequência, multiplicar por uma soma de exponenciais (como a cosseno) gera uma soma de espectros deslocados e possivelmente escalados.
- Sempre que eu escrever
quero dizer a transformada de Fourier de :
Passo 3
Aplicando a identidade da cosseno e a propriedade de deslocamento:
- Escrevo a cosseno como soma de exponenciais:
- Então
- Tomando a transformada de Fourier termo a termo (usando
):
Essa é a expressão geral e final para a transformada de
em função de
.
Passo 4
Interpretação e esboço no domínio da frequência (como desenhar):
- A transformada
é a soma de duas cópias de : - uma cópia deslocada para a direita por
(ou seja, centrada em ) e escalada por ; - outra cópia deslocada para a esquerda por
(centrada em ) e escalada por .
- uma cópia deslocada para a direita por
- Se
for real (caso muito comum), então tem simetria conjugada . Nesse caso será real-ímpar/real-par dependendo de , mas o que importa para esboçar é: duas cópias simétricas em torno de nos pontos . - Para esboçar na prova:
- desenhe o eixo
(em Hz) e marque , e ; - desenhe a forma de
centrada em zero (por exemplo, se é um lowpass com suporte em , desenhe uma forma não nula só ali); - desenhe a mesma forma deslocada para
e reduza a amplitude a metade (fator ).
- desenhe o eixo
- Exemplos concretos (aprender fazendo):
- se
for compacto em (isto é, para ), então será não nula somente nas bandas e .
- se
Passo 5
Largura de banda nulo-a-nulo — definição e regra geral:
- Definição prática usada aqui: a largura de banda nulo-a-nulo de um espectro é a largura (em Hz) do intervalo de frequências onde o espectro é diferente de zero, medida entre a frequência inferior e a frequência superior onde o espectro primeiro zera (ou deixa de ser não nulo).
- Regra geral para o sinal
: - suponha que
seja suportado apenas para (ou seja, para ). Então cada lóbulo deslocado de ocupa o intervalo e . - a largura de banda nulo-a-nulo de cada lóbulo individual (a banda ao redor de
ou ) é Em palavras: a largura de cada banda é igual à largura do suporte de . - a largura de banda total ocupada pelo sinal (do menor ponto não-nulo até o maior ponto não-nulo) é
- suponha que
- Portanto, se em algum item (a), (b) ou (c)
for dado e for limitado em frequência por , pode-se aplicar imediatamente as fórmulas acima para obter a largura nulo-a-nulo. Sem saber não é possível dar valores numéricos para esses itens.
Passo 6
Resumo prático (como responder rapidamente numa prova):
- Declare
como a transformada de . - Use
- Esboce duas cópias deslocadas de
em com amplitude dividida por 2. - Para largura nulo-a-nulo: obtenha o suporte de
. Se o suporte de for , então cada lóbulo tem largura e o conjunto total de frequências ocupadas vai de até .
Resposta
Se
for suportado em
, então para cada lóbulo ao redor de
a largura nulo-a-nulo é
e a largura nulo-a-nulo total ocupada é
.
Não é possível calcular numericamente as larguras de banda específicas pedidas para os itens (a), (b) e (c) porque as expressões de
nesses itens não foram fornecidas.