Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
e(t)=d(t) \cos (2 \pi 1000 t)

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • O sinal no tempo é e(t)=d(t)\cos(2\pi 1000 t).
O que o enunciado pede:
  • Calcular a transformada de Fourier de e(t).
  • Esboçar o sinal no domínio da frequência (ou seja, descrever como é E(f)).
  • Encontrar a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos itens (a), (b) e (c).
Observação importante: o enunciado mencionou "itens (a), (b) e (c)" mas esses itens (ou a forma explícita de d(t) nesses casos) não foram fornecidos. Portanto não há como calcular valores numéricos de largura de banda para (a), (b) e (c) sem saber o que é d(t) em cada item. Vou, no entanto, resolver a transformada de forma geral em função de D(f) (a transformada de d(t)), explicar passo a passo a teoria usada, e dar a regra geral que permite obter a largura de banda nulo-a-nulo quando d(t) for conhecida.

Passo 2

Ferramentas e conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Representação da cosseno em exponenciais complexas: \cos(2\pi f_0 t)=\frac{e^{j2\pi f_0 t}+e^{-j2\pi f_0 t}}{2}.Aqui f_0 é a frequência da portadora em Hz; no nosso caso f_0=1000.
  • Se um sinal d(t) tem transformada de Fourier D(f), então multiplicar d(t) por um exponencial complexo desloca sua transformada no domínio da frequência: d(t)e^{j2\pi f_0 t}\\ \xleftrightarrow{\mathcal{F}}\\ D(f-f_0).Isto é, multiplicar no tempo por e^{j2\pi f_0 t} corresponde a deslocar D(f) para a direita por f_0.
  • Como consequência, multiplicar por uma soma de exponenciais (como a cosseno) gera uma soma de espectros deslocados e possivelmente escalados.
  • Sempre que eu escrever D(f) quero dizer a transformada de Fourier de d(t): d(t)\\ \xleftrightarrow{\mathcal{F}}\\ D(f).

Passo 3

Aplicando a identidade da cosseno e a propriedade de deslocamento:
  • Escrevo a cosseno como soma de exponenciais: \cos(2\pi 1000 t)=\frac{e^{j2\pi 1000 t}+e^{-j2\pi 1000 t}}{2}.
  • Então e(t)=d(t)\cos(2\pi 1000 t)=\frac{1}{2}d(t)e^{j2\pi 1000 t}+\frac{1}{2}d(t)e^{-j2\pi 1000 t}.
  • Tomando a transformada de Fourier termo a termo (usando d(t)e^{j2\pi f_0 t}\leftrightarrow D(f-f_0)): E(f)=\frac{1}{2}D(f-1000)+\frac{1}{2}D(f+1000).
Essa é a expressão geral e final para a transformada de e(t) em função de D(f).

Passo 4

Interpretação e esboço no domínio da frequência (como desenhar):
  • A transformada E(f) é a soma de duas cópias de D(f):
    • uma cópia deslocada para a direita por +1000 (ou seja, centrada em f=+1000) e escalada por 1/2;
    • outra cópia deslocada para a esquerda por -1000 (centrada em f=-1000) e escalada por 1/2.
  • Se d(t) for real (caso muito comum), então D(f) tem simetria conjugada D(-f)=D^*(f). Nesse caso E(f) será real-ímpar/real-par dependendo de D, mas o que importa para esboçar é: duas cópias simétricas em torno de f=0 nos pontos f=\pm 1000.
  • Para esboçar na prova:
    • desenhe o eixo f (em Hz) e marque -1000, 0 e +1000;
    • desenhe a forma de D(f) centrada em zero (por exemplo, se D(f) é um lowpass com suporte em [-B,B], desenhe uma forma não nula só ali);
    • desenhe a mesma forma deslocada para \pm 1000 e reduza a amplitude a metade (fator 1/2).
  • Exemplos concretos (aprender fazendo):
    • se D(f) for compacto em [-B,B] (isto é, D(f)=0 para |f|>B), então E(f) será não nula somente nas bandas [1000-B,\,1000+B] e [-1000-B,\,-1000+B].

Passo 5

Largura de banda nulo-a-nulo — definição e regra geral:
  • Definição prática usada aqui: a largura de banda nulo-a-nulo de um espectro é a largura (em Hz) do intervalo de frequências onde o espectro é diferente de zero, medida entre a frequência inferior e a frequência superior onde o espectro primeiro zera (ou deixa de ser não nulo).
  • Regra geral para o sinal e(t)=d(t)\cos(2\pi 1000 t):
    • suponha que D(f) seja suportado apenas para |f|\le B (ou seja, D(f)=0 para |f|>B). Então cada lóbulo deslocado de E(f) ocupa o intervalo [\,1000-B,\,1000+B\,] e [\, -1000-B,\,-1000+B\,].
    • a largura de banda nulo-a-nulo de cada lóbulo individual (a banda ao redor de +1000 ou -1000) é \text{BW}_{\text{lóbulo}}= (1000+B)-(1000-B)=2B.óEm palavras: a largura de cada banda é igual à largura do suporte de D(f).
    • a largura de banda total ocupada pelo sinal (do menor ponto não-nulo até o maior ponto não-nulo) é \text{BW}_{\text{total}}=(1000+B)-(-1000-B)=2(1000+B).
  • Portanto, se em algum item (a), (b) ou (c) d(t) for dado e for limitado em frequência por |f|\le B, pode-se aplicar imediatamente as fórmulas acima para obter a largura nulo-a-nulo. Sem saber d(t) não é possível dar valores numéricos para esses itens.

Passo 6

Resumo prático (como responder rapidamente numa prova):
  • Declare D(f) como a transformada de d(t).
  • Use E(f)=\frac{1}{2}D(f-1000)+\frac{1}{2}D(f+1000).
  • Esboce duas cópias deslocadas de D(f) em f=\pm 1000 com amplitude dividida por 2.
  • Para largura nulo-a-nulo: obtenha o suporte de D(f). Se o suporte de D(f) for [f_{\min},f_{\max}], então cada lóbulo tem largura f_{\max}-f_{\min} e o conjunto total de frequências ocupadas vai de -1000+f_{\min} até 1000+f_{\max}.

Resposta

E(f)=\frac{1}{2}D(f-1000)+\frac{1}{2}D(f+1000).
Se D(f) for suportado em |f|\le B, então para cada lóbulo ao redor de \pm 1000 a largura nulo-a-nulo é 2B e a largura nulo-a-nulo total ocupada é 2(1000+B).
Não é possível calcular numericamente as larguras de banda específicas pedidas para os itens (a), (b) e (c) porque as expressões de d(t) nesses itens não foram fornecidas.

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