Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
a(t)=4 \operatorname{sinc}\left(2 \times 10^{5} t\right).

Passo 1

O enunciado dá o sinal
a(t)=4\,\operatorname{s{sinc}}\!\bigl(2\times10^{5}\,t\bigr).
Pede-se:
  • calcular a transformada de Fourier de a(t);
  • esboçar o sinal no domínio da frequência (descrição do esboço é suficiente);
  • encontrar a largura de banda nulo-a-nulo (apenas para o item (a) aqui).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Fator escalar no tempo: 2\times10^{5}.
  • Amplitude multiplicativa: 4.

Passo 2

Primeiro vou fixar as convenções que vou usar (muito importante para não confundir resultados).
Definições e convenções:
  • A função sinc usada aqui é a normalizada usual em processamento de sinais:
\operatorname{s{sinc}}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
  • A transformada de Fourier (frequência em hertz) adotada é
X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt.
  • Definição da função rect (retângulo) usada:
\operatorname{rect}(f)= \begin{cases} 1, & |f|\le \tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & |f|>\tfrac{1}{2}. \end{cases}
Observação rápida (por que escolhi essas convenções): esta combinação (sinc normalizada e TF com 2\pi f no expoente) é a mais comum em cursos de sinais e sistemas e dá o par conhecido
\operatorname{s{sinc}}(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \operatorname{rect}(f).]

Passo 3

Par fundamental que vou usar (motivação e intuição):
\operatorname{s{sinc}}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\quad\longleftrightarrow\quad \operatorname{rect}(f).
Intuitivamente: a função sinc no tempo é a transformada inversa de um pulso retangular na frequência; portanto a transformada direta da sinc é o retângulo. Este é um par padrão e pode ser verificado por integração ou lembrando a transformada da função retangular no tempo (dualidade).

Passo 4

Agora aplico propriedades úteis da transformada de Fourier:
Linearidade:
  • Se x(t)\leftrightarrow X(f) então c\,x(t)\leftrightarrow c\,X(f) para escalar real c.
Propriedade de escala no tempo:
  • Se x(t)\leftrightarrow X(f) então x(a t)\leftrightarrow \dfrac{1}{|a|}\,X\!\left(\dfrac{f}{a}\right), onde a é constante real não nula.
    Explicação curta: comprimir o tempo (a grande) alarga a frequência e aparece o fator \tfrac{1}{|a|} para conservar energia/normalização.
No nosso caso:
  • tomo x(t)=\operatorname{s{sinc}}(t) com X(f)=\operatorname{rect}(f).
  • escolho a=2\times10^{5}, assim x(a t)=\operatorname{s{sinc}}(2\times10^{5} t).
Aplicando a propriedade de escala:
\operatorname{s{sinc}}\!\bigl(2\times10^{5} t\bigr) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2\times10^{5}}\; \operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\times10^{5}}\right).

Passo 5

Incorporando o fator multiplicativo 4 (linearidade):
a(t)=4\,\operatorname{s{sinc}}\!\bigl(2\times10^{5} t\bigr) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} 4\cdot\frac{1}{2\times10^{5}}\; \operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\times10^{5}}\right).
Faço a conta do fator:
\frac{4}{2\times10^{5}}=\frac{2}{10^{5}}=2\times10^{-5}.
Portanto a transformada de Fourier é
A(f)=2\times10^{-5}\;\operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\times10^{5}}\right).

Passo 6

Agora determinar a largura de banda nulo-a-nulo e descrever o esboço no domínio da frequência.
Análise do suporte do retângulo:
  • A função \operatorname{rect}\!\left(\dfrac{f}{2\times10^{5}}\right) vale 1 quando
\left|\frac{f}{2\times10^{5}}\right| \le \frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad |f| \le \frac{2\times10^{5}}{2}=1\times10^{5}.
  • Logo o retângulo existe (valor não nulo) para -10^{5}\le f\le 10^{5} (ou seja, -100\\ \text{kHz} a +100\\ \text{kHz}).
A amplitude dentro desse intervalo é constante igual a 2\times10^{-5}, e fora é zero.
Esboço (descrição para desenhar na prova):
  • No eixo horizontal coloque f em hertz.
  • Trace um retângulo centrado em f=0, com altura 2\times10^{-5}.
  • As bordas verticais do retângulo estão em f=-10^{5} e f=+10^{5}.
  • Fora desse intervalo o valor é zero.
  • Se preferir marcar em kHz: retângulo de -100 kHz a +100 kHz, altura 2\times10^{-5}.
Largura de banda nulo-a-nulo:
  • As primeiras frequências em que A(f) cai a zero (à esquerda e à direita do pico) estão em -10^{5} e +10^{5}.
  • A largura nulo-a-nulo é a diferença entre esses zeros:
\text{BW}_{\text{nulo-a-nulo}} = 10^{5} - (-10^{5}) = 2\times10^{5}\\ \text{Hz} = 200\\ \text{kHz}.

Resposta

A(f)=\mathcal{F}\{a(t)\}=2\times10^{-5}\;\operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\times10^{5}}\right).
\text{Largura de banda nulo-a-nulo} = 2\times10^{5}\\ \text{Hz} = 200\\ \text{kHz}.

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