Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{2 s-8}{s^{2}+4}

Passo 1

O enunciado dá a função de s
F(s)=\frac{2s-8}{s^{2}+4}
e pede a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Informações relevantes dadas:
  • Numerador: 2s-8.
  • Denominador: s^{2}+4, que é da forma s^{2}+a^{2} com a=2.
    A tarefa é calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: separar a fração em termos fáceis de reconhecer usando linearidade. Escrevo
F(s)=\frac{2s-8}{s^{2}+4}=\frac{2s}{s^{2}+4}-\frac{8}{s^{2}+4}.
Explicação da propriedade usada: a transformada inversa é linear, isto é,
\mathcal{L}^{-1}\{aG(s)+bH(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\},
onde a,b são constantes. Então posso tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Recordando pares de transformada de Laplace básicos (e o que significam as variáveis):
  • Para a>0 e variável t\ge 0,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável do domínio de Laplace e t é a variável do tempo. Essas fórmulas dizem: se você encontra \frac{s}{s^{2}+a^{2}} em F(s), a inversa é \cos(at); se encontra \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, a inversa é \sin(at).
No nosso caso o denominador é s^{2}+4, então a=2. Assim:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s^{2}+4}\right\}=\sin(2t).

Passo 4

Agora aplico essas correspondências termo a termo.
Para o primeiro termo:
\frac{2s}{s^{2}+4}=2\cdot\frac{s}{s^{2}+4},
portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s}{s^{2}+4}\right\}=2\cos(2t).
Para o segundo termo:
\frac{8}{s^{2}+4}=4\cdot\frac{2}{s^{2}+4},
portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{8}{s^{2}+4}\right\}=4\sin(2t).
Como no F(s) o termo vem com sinal negativo, temos contribuição -4\sin(2t).

Passo 5

Somando as contribuições (pela linearidade):
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=2\cos(2t)-4\sin(2t),
válido para t\ge 0. Pequena verificação mental: diferenciando/transformando de volta termos conhecidos daria os termos originais em s, então o resultado é consistente.

Resposta

f(t)=2\cos(2t)-4\sin(2t)

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