Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função de
e pede a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar a função
tal que
. Informações relevantes dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
, que é da forma com .
A tarefa é calcular.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: separar a fração em termos fáceis de reconhecer usando linearidade. Escrevo
Explicação da propriedade usada: a transformada inversa é linear, isto é,
onde
são constantes. Então posso tratar cada termo separadamente.
Passo 3
Recordando pares de transformada de Laplace básicos (e o que significam as variáveis):
- Para
e variável ,
Aqui
é a variável do domínio de Laplace e
é a variável do tempo. Essas fórmulas dizem: se você encontra
em
, a inversa é
; se encontra
, a inversa é
.
No nosso caso o denominador é
, então
. Assim:
Passo 4
Agora aplico essas correspondências termo a termo.
Para o primeiro termo:
portanto
Para o segundo termo:
portanto
Como no
o termo vem com sinal negativo, temos contribuição
.
Passo 5
Somando as contribuições (pela linearidade):
válido para
. Pequena verificação mental: diferenciando/transformando de volta termos conhecidos daria os termos originais em
, então o resultado é consistente.