Calcule a transformada de Laplace de cada função abaixo utilizando inspeção em tabelas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
onde
é o degrau unitário. O que a questão pede é a transformada de Laplace de
(usando inspeção em tabelas). Vou listar claramente as informações importantes:
- A função é multiplicada por
, portanto é causal e a integral da transformada vai de a . - É permitido usar tabelas de transformada por inspeção; entretanto, antes de olhar na tabela é útil simplificar a expressão trigonométrica para identificar termos padrão.
Passo 2
Vamos simplificar a parte trigonométrica
. Expandindo a potência e usando identidades trigonométricas conhecidas:
Agora usar as identidades
e
. Portanto:
Passo 3
Substituindo na expressão original obtemos a forma mais simples para inspeção:
Isto significa que podemos calcular a transformada de Laplace por linearidade, transformando
e
separadamente.
Passo 4
Lembrete rápido sobre definição e linearidade:
- A transformada de Laplace de uma função causal
é
- A transformada é linear, ou seja
Aplicando isso a
:
Passo 5
Agora usamos entradas padrão da tabela (inspeção):
- A transformada de
é
- A transformada de
é
Aqui
, então
Passo 6
Substituindo essas expressões na linearidade:
Passo 7
Opcional: colocar em uma única fração racional (às vezes útil em provas):
Passo 8
Comentário final rápido e motivador: pronto — foi só expandir a potência usando identidades trigonométricas, ver que resultou em termos padrão
e
, e aplicar por inspeção as entradas da tabela. Você conseguiu — é o tipo de jogada que poupa muito tempo na prova!