Calcule a transformada de Laplace de cada função abaixo utilizando inspeção em tabelas.
x(t)=(\sin t-\cos t)^{2} u(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
x(t)=(\sin t-\cos t)^{2}\,u(t),
onde u(t) é o degrau unitário. O que a questão pede é a transformada de Laplace de x(t) (usando inspeção em tabelas). Vou listar claramente as informações importantes:
  • A função é multiplicada por u(t), portanto é causal e a integral da transformada vai de 0 a \infty.
  • É permitido usar tabelas de transformada por inspeção; entretanto, antes de olhar na tabela é útil simplificar a expressão trigonométrica para identificar termos padrão.

Passo 2

Vamos simplificar a parte trigonométrica (\sin t-\cos t)^{2}. Expandindo a potência e usando identidades trigonométricas conhecidas:
(\sin t-\cos t)^{2}=\sin^{2}t-2\sin t\cos t+\cos^{2}t.
Agora usar as identidades \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 e 2\sin t\cos t=\sin 2t. Portanto:
(\sin t-\cos t)^{2}=1-\sin 2t.

Passo 3

Substituindo na expressão original obtemos a forma mais simples para inspeção:
x(t)=(1-\sin 2t)\,u(t).
Isto significa que podemos calcular a transformada de Laplace por linearidade, transformando 1\cdot u(t) e \sin 2t\cdot u(t) separadamente.

Passo 4

Lembrete rápido sobre definição e linearidade:
  • A transformada de Laplace de uma função causal f(t)u(t) é
\mathcal{L}\{f(t)u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt.
  • A transformada é linear, ou seja
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
Aplicando isso a x(t):
\mathcal{L}\{x(t)\}=\mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\sin 2t\}.

Passo 5

Agora usamos entradas padrão da tabela (inspeção):
  • A transformada de 1\cdot u(t) é
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\quad \text{(válido para \(\Re(s)>0\)).}á
  • A transformada de \sin a t é
\mathcal{L}\{\sin a t\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\quad \text{(válido para \(\Re(s)>0\)).}á
Aqui a=2, então
\mathcal{L}\{\sin 2t\}=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 6

Substituindo essas expressões na linearidade:
\mathcal{L}\{x(t)\}=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 7

Opcional: colocar em uma única fração racional (às vezes útil em provas):
\mathcal{L}\{x(t)\}=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{2}+4}=\frac{s^{2}+4-2s}{s(s^{2}+4)}=\frac{s^{2}-2s+4}{s(s^{2}+4)}.

Passo 8

Comentário final rápido e motivador: pronto — foi só expandir a potência usando identidades trigonométricas, ver que resultou em termos padrão 1 e \sin 2t, e aplicar por inspeção as entradas da tabela. Você conseguiu — é o tipo de jogada que poupa muito tempo na prova!

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{x(t)\}=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{2}+4}=\frac{s^{2}-2s+4}{s(s^{2}+4)},\quad \Re(s)>0

Exercícios relacionados