Calcule a transformada de Laplace de cada função abaixo utilizando inspeção em tabelas.
x(t)=\left(3 t^{4}-2 t^{3}+4 \mathrm{e}^{-3 t}-2 \sin 5 t+3 \cos 2 t\right) u(t)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
x(t)=\left(3 t^{4}-2 t^{3}+4 e^{-3 t}-2 \sin 5 t+3 \cos 2 t\right) u(t).
Informações e dados fornecidos:
  • A função é uma soma linear de termos: 3 t^{4}, -2 t^{3}, 4 e^{-3t}, -2\sin 5t e 3\cos 2t.
  • Há um multiplicador u(t) (função degrau unitário), ou seja, a transformada é a unilateral padrão de 0 a +\infty.
  • O pedido é a transformada de Laplace \mathcal{L}\{x(t)\}(s), usando inspeção em tabelas (ou seja: aplicar transformadas conhecidas termo a termo e usar linearidade).

Passo 2

Princípio que vamos usar (linearidade): a transformada de Laplace é linear, portanto
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s),
onde a,b são constantes e s é a variável complexa da transformada (frequência complexa). Assim podemos transformar cada termo separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Transformada de potências de t. Fórmula da tabela:
\mathcal{L}\{t^{n} u(t)\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}},\qquad n\in\{0,1,2,\dots\},\quad \operatorname{Re}(s)>0.
Explicando as partes: n! é o fatorial de n, s é a variável complexa da transformada, e a condição \operatorname{Re}(s)>0 garante convergência para potências polinomiais. Agora aplico aos termos em t:
  • Para 3 t^{4}:
\mathcal{L}\{3 t^{4} u(t)\}(s)=3\cdot\frac{4!}{s^{5}}=3\cdot\frac{24}{s^{5}}=\frac{72}{s^{5}}.
  • Para -2 t^{3}:
\mathcal{L}\{-2 t^{3} u(t)\}(s)=-2\cdot\frac{3!}{s^{4}}=-2\cdot\frac{6}{s^{4}}=-\frac{12}{s^{4}}.

Passo 4

Transformada de exponencial. Fórmula da tabela:
\mathcal{L}\{e^{a t} u(t)\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).
Aqui a é a constante do expoente. Para 4 e^{-3t} temos a=-3, então
\mathcal{L}\{4 e^{-3t} u(t)\}(s)=4\cdot\frac{1}{s-(-3)}= \frac{4}{s+3},
com condição de convergência desta parcela \operatorname{Re}(s)>-3.

Passo 5

Transformadas de seno e cosseno. Fórmulas da tabela:
\mathcal{L}\{\sin(bt)u(t)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\cos(bt)u(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
com b>0 real e condição padrão \operatorname{Re}(s)>0 para convergência. Aplicando aos termos:
  • Para -2\sin 5t (aqui b=5):
\mathcal{L}\{-2\sin 5t\,u(t)\}(s)=-2\cdot\frac{5}{s^{2}+25}=-\frac{10}{s^{2}+25}.
  • Para 3\cos 2t (aqui b=2):
\mathcal{L}\{3\cos 2t\,u(t)\}(s)=3\cdot\frac{s}{s^{2}+4}=\frac{3s}{s^{2}+4}.

Passo 6

Agora somo todas as parcelas obtidas, usando linearidade (cada parcela já está em função de s). Somatório:
\mathcal{L}\{x(t)\}(s) = \frac{72}{s^{5}} -\frac{12}{s^{4}} +\frac{4}{s+3} -\frac{10}{s^{2}+25} +\frac{3s}{s^{2}+4}.
Essa é a expressão final da transformada, obtida por inspeção direta nas tabelas e aplicação da linearidade.

Passo 7

Região de convergência (ROC): cada termo tem sua condição:
  • \frac{72}{s^{5}} e -\dfrac{12}{s^{4}} exigem \operatorname{Re}(s)>0.
  • \dfrac{4}{s+3} exige \operatorname{Re}(s)>-3.
  • termos trigonométricos exigem \operatorname{Re}(s)>0.
    A ROC comum (interseção das condições) é
\operatorname{Re}(s)>0.
É a região onde a transformada total converge.

Resposta

\mathcal{L}\{x(t)\}(s)=\frac{72}{s^{5}}-\frac{12}{s^{4}}+\frac{4}{s+3}-\frac{10}{s^{2}+25}+\frac{3s}{s^{2}+4},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

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