Calcule a transformada de Laplace de cada função abaixo utilizando inspeção em tabelas.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
Informações e dados fornecidos:
- A função é uma soma linear de termos:
, , , e . - Há um multiplicador
(função degrau unitário), ou seja, a transformada é a unilateral padrão de a . - O pedido é a transformada de Laplace
, usando inspeção em tabelas (ou seja: aplicar transformadas conhecidas termo a termo e usar linearidade).
Passo 2
Princípio que vamos usar (linearidade): a transformada de Laplace é linear, portanto
onde
são constantes e
é a variável complexa da transformada (frequência complexa). Assim podemos transformar cada termo separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Transformada de potências de
. Fórmula da tabela:
Explicando as partes:
é o fatorial de
,
é a variável complexa da transformada, e a condição
garante convergência para potências polinomiais. Agora aplico aos termos em
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Transformada de exponencial. Fórmula da tabela:
Aqui
é a constante do expoente. Para
temos
, então
com condição de convergência desta parcela
.
Passo 5
Transformadas de seno e cosseno. Fórmulas da tabela:
com
real e condição padrão
para convergência. Aplicando aos termos:
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
Passo 6
Agora somo todas as parcelas obtidas, usando linearidade (cada parcela já está em função de
). Somatório:
Essa é a expressão final da transformada, obtida por inspeção direta nas tabelas e aplicação da linearidade.
Passo 7
Região de convergência (ROC): cada termo tem sua condição:
-
e exigem . -
exige . - termos trigonométricos exigem
.
A ROC comum (interseção das condições) é
É a região onde a transformada total converge.