Calcule a transformada de Laplace de cada função abaixo utilizando inspeção em tabelas.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular a transformada de Laplace dessa função por inspeção em tabelas. Informações relevantes dadas:
- A função temporal está multiplicada por
(função degrau unitário). - A expressão interna é um quadrado:
. - Precisamos retornar a transformada
e indicar a região de convergência (quando for pertinente).
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão no tempo, expandindo o quadrado para trabalhar termo a termo (isso facilita usar a tabela por inspeção):
Portanto
Passo 3
Relembrando (como numa tabela de transformadas) as fórmulas que vamos aplicar e o que cada símbolo significa:
- Definição de Laplace unilateral (para referência):
onde
é a variável complexa
.
- Linearidade (muito útil para inspeção): para constantes
,
- Entradas da tabela que usaremos:
- Para deslocamento exponencial:
, com região de convergência . - Para constante:
, com região de convergência .
- Para deslocamento exponencial:
Aqui
é o expoente da função exponencial (por exemplo, para
temos
). Ao aplicar linearidade, transformamos cada termo separado e somamos os resultados.
Passo 4
Aplico a linearidade a cada termo de
. Transformada de cada parcela (por inspeção na tabela):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Somando as três parcelas (pela linearidade) obtemos a transformada total. A região de convergência do somatório é a interseção das respectivas ROCs; a maior restrição vem do termo com maior
, que é
. Assim a ROC é
. Escrevendo a soma:
Passo 6
Opcionalmente, se for desejável apresentar em uma única fração racional, coloca-se o denominador comum
e simplifica: