Calcule a transformada de Laplace de cada função abaixo utilizando inspeção em tabelas.
x(t)=\left(5 \mathrm{e}^{2 t}-3\right)^{2} u(t)

Passo 1

O enunciado fornece a função
x(t)=\bigl(5e^{2t}-3\bigr)^{2}u(t)
e pede para calcular a transformada de Laplace dessa função por inspeção em tabelas. Informações relevantes dadas:
  • A função temporal está multiplicada por u(t) (função degrau unitário).
  • A expressão interna é um quadrado: \bigl(5e^{2t}-3\bigr)^{2}.
  • Precisamos retornar a transformada X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e indicar a região de convergência (quando for pertinente).

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão no tempo, expandindo o quadrado para trabalhar termo a termo (isso facilita usar a tabela por inspeção):
\bigl(5e^{2t}-3\bigr)^{2}=25e^{4t}-30e^{2t}+9.
Portanto
x(t)=\bigl(25e^{4t}-30e^{2t}+9\bigr)u(t).

Passo 3

Relembrando (como numa tabela de transformadas) as fórmulas que vamos aplicar e o que cada símbolo significa:
  • Definição de Laplace unilateral (para referência):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa s=\sigma+j\omega.
  • Linearidade (muito útil para inspeção): para constantes a,b,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Entradas da tabela que usaremos:
    • Para deslocamento exponencial: \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}=\frac{1}{s-a}, com região de convergência \Re(s)>\Re(a).
    • Para constante: \displaystyle \mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}, com região de convergência \Re(s)>0.
Aqui a é o expoente da função exponencial (por exemplo, para e^{4t} temos a=4). Ao aplicar linearidade, transformamos cada termo separado e somamos os resultados.

Passo 4

Aplico a linearidade a cada termo de x(t). Transformada de cada parcela (por inspeção na tabela):
  • Para 25e^{4t}u(t):
\mathcal{L}\{25e^{4t}u(t)\}=25\cdot\frac{1}{s-4}=\frac{25}{s-4},\qquad \Re(s)>4.
  • Para -30e^{2t}u(t):
\mathcal{L}\{-30e^{2t}u(t)\}=-30\cdot\frac{1}{s-2}=-\frac{30}{s-2},\qquad \Re(s)>2.
  • Para 9\,u(t):
\mathcal{L}\{9u(t)\}=9\cdot\frac{1}{s}=\frac{9}{s},\qquad \Re(s)>0.

Passo 5

Somando as três parcelas (pela linearidade) obtemos a transformada total. A região de convergência do somatório é a interseção das respectivas ROCs; a maior restrição vem do termo com maior a, que é a=4. Assim a ROC é \Re(s)>4. Escrevendo a soma:
X(s)=\frac{25}{s-4}-\frac{30}{s-2}+\frac{9}{s},\qquad \Re(s)>4.

Passo 6

Opcionalmente, se for desejável apresentar em uma única fração racional, coloca-se o denominador comum s(s-2)(s-4) e simplifica:
X(s)=\frac{4s^{2}+16s+72}{s(s-2)(s-4)},\qquad \Re(s)>4.

Resposta

\displaystyle X(s)=\frac{25}{s-4}-\frac{30}{s-2}+\frac{9}{s},\\ \Re(s)>4
\displaystyle X(s)=\frac{4s^{2}+16s+72}{s(s-2)(s-4)},\\ \Re(s)>4

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