Calcule a transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
- A função é
definida para . - Precisa-se encontrar
, a transformada de Laplace (uma função de ).
Passo 2
Lembrete da definição e do objetivo (para entender o que vamos calcular).
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa.
- Aqui
é a variável do tempo (real, ) e é a variável da transformada. - Vamos aplicar essa definição a
. Para que a integral converja, precisamos de (isso garante que decai quando ).
Passo 3
Escrevendo a integral que define
. Para simplificar, chamo de
. Então consideramos
com
e
. Nosso objetivo é calcular
.
Passo 4
Calcular
por integração por partes (duas vezes). Primeiro uso integração por partes em
.
Escolho e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
Escolho
Avalio o termo de fronteira: como
, tem-se
quando
; em
vale
. Logo o termo de fronteira dá
. O integrando simplifica para
. Assim
Defino
então a relação acima é
Passo 5
Agora calculo
por integração por partes também. Escolho
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula:
O termo de fronteira vale zero (em
tem
, em
o exponencial anula). O integrando dá
. Portanto
Passo 6
Volto à relação do Passo 4 e substituo
:
Isolando
,
Multiplicando ambos os lados por
e resolvendo,
Passo 7
Substituo
, então
. Portanto a transformada de Laplace procurada é
válida para
.