Calcule a transformada de Laplace das funções:
f(t)=\cos \sqrt{2} t

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função f(t)=\cos(\sqrt{2}\,t).
Informações dadas:
  • A função é f(t)=\cos(\sqrt{2}\,t) definida para t\ge 0.
  • Precisa-se encontrar \mathcal{L}\{f\}(s), a transformada de Laplace (uma função de s).

Passo 2

Lembrete da definição e do objetivo (para entender o que vamos calcular).
  • A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa.
  • Aqui t é a variável do tempo (real, t\ge0) e s é a variável da transformada.
  • Vamos aplicar essa definição a g(t)=\cos(\sqrt{2}\,t). Para que a integral converja, precisamos de \operatorname{Re}(s)>0 (isso garante que e^{-st} decai quando t\to\infty).

Passo 3

Escrevendo a integral que define \mathcal{L}\{\cos(\sqrt{2}\,t)\}(s). Para simplificar, chamo de a=\sqrt{2}. Então consideramos
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt,
com a=\sqrt{2} e \operatorname{Re}(s)>0. Nosso objetivo é calcular I(s).

Passo 4

Calcular I(s) por integração por partes (duas vezes). Primeiro uso integração por partes em I(s).
Escolho u=\cos(at) e dv=e^{-st}dt. Então du=-a\sin(at)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
I(s)=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos(at)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right)\left(-a\sin(at)\right)dt.
Avalio o termo de fronteira: como \operatorname{Re}(s)>0, tem-se e^{-st}\cos(at)\to 0 quando t\to\infty; em t=0 vale \cos(0)=1. Logo o termo de fronteira dá 0 -\big(-\dfrac{1}{s}\cdot 1\big)=\dfrac{1}{s}. O integrando simplifica para \dfrac{a}{s}e^{-st}\sin(at). Assim
I(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt.
Defino
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt,
então a relação acima é
I(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{a}{s}J(s).

Passo 5

Agora calculo J(s) por integração por partes também. Escolho u=\sin(at) e dv=e^{-st}dt. Então du=a\cos(at)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando a fórmula:
J(s)=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin(at)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right)\left(a\cos(at)\right)dt.
O termo de fronteira vale zero (em t=0 tem \sin0=0, em t\to\infty o exponencial anula). O integrando dá \dfrac{a}{s}e^{-st}\cos(at). Portanto
J(s)=\dfrac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt = \dfrac{a}{s}I(s).

Passo 6

Volto à relação do Passo 4 e substituo J(s)=\dfrac{a}{s}I(s):
I(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{a}{s}\cdot\frac{a}{s}I(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{a^{2}}{s^{2}}I(s).
Isolando I(s),
I(s)\left(1+\dfrac{a^{2}}{s^{2}}\right)=\dfrac{1}{s}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2} e resolvendo,
I(s)=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 7

Substituo a=\sqrt{2}, então a^{2}=2. Portanto a transformada de Laplace procurada é
\mathcal{L}\{\cos(\sqrt{2}\,t)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+2},
válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(\sqrt{2}\,t)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+2},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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